全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角•全等多边形的对应边、对应角分别相等•如下图,两个全等的五边形,记作：五边形ABCQE里五边形A'B'C'D'E' .这里符号徑"表示全等，读作"全等于"•全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形•全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等•全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形•能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角•全等符号为“空‘ •全尊三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等•寻找对应边和对应角,常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角•(5)有对顶角的，对顶角常是对应角•全等三角形的判定方法：(1)边角边走理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等•⑵角边角走理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等•(3)边边边走理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等•(4)角角边走理(MS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等•(5)斜边、直角边定理(HD :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路:找夹角TSAS已知两边找直角THL找另一边TSSS边为角的对边一找任意一角一A4S找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一AAS 找该角的另一边一SAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:已知一边一角《边就是角的一条边已知两角＜找两角的夹边T ASA 找任意一边T AAS（1）平移全等型⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等•⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上•⑶等腰三角形的性质走理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）•⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合•⑸等腰三角形的判走走理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等•（7）和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上•它们具有互逆性•角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 •由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2・过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，3 . OA = OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍,三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：彫吉三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线•三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半•中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边•中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无^是倍长中线以及中位线走理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等臺关系时，倍长中线的应用更是较为常见•【例1】在初、AC 上各取一点E. D, ^AE = AD 9连接3D 、CE 相交于O 再连结AO . BC 9若Z1 = Z2,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由・【巩固】如图所示，AB = AD 9 BC = DC, E 、尸在AC 上，AC 与BQ 相交于P.图中有几对全等三 角形？请一一找出来，并简述全等的理由.【例2】（2008年巴中市髙中阶段教育学校招生考试）如图，AC//DE 9 BC 〃 EF , AC = DE.求证: AF=BD ・【例3】（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC, AC = BD,求证：ZC = ZD ・【巩固】如图，AC. 3D 相交于O 点，RAC = BD 9 AB = CD 9求证：OA = OD.板块二、三角形全等的判定与应用【例4】（哈尔滨市2008年初中升学考试）已知:如图，B.E.F.C 四点在同一条直线上，AB = DC 9 BE = CF ■ = 求证：OA= OD.A I)【例5】 已知，如图，AB = AC 9 CE 丄AB 9 BF 丄AC 9求证：BF = CE.【例6】E 、F 分别是正方形ABCQ 的CQ 边上的点，且BE = CF •求证：AE 丄BF ・【巩固】E. F. G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE 丄EF, GE = EF.求证:BG + CF = BC ・【例7】 在凸五边形中，Zfi = ZE, ZC = ZD, BC = DE , M 为CD 中点.求证：AM 丄CD.I) C板块三、截长补短类【例1】如图，点M为正三角形的边加所在直线上的任意一点（点3除外），作ZDMV = 60。
, 射线MN与ZDBA外角的平分线交于点N, DM与MN有怎样的数量关系？【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边M上任意一点，MV丄DM且与ZABC外角的平分线交于点N, MD与MN 有怎样的数量关系？【例2】如图，AD1.AB9 CBLAB9 DM二CM=a , AD= h , CB=k , ZAA/D=75。
，ZBMC=45°,则AB 的长为（）k + hA. aB. kC. ------D. h2【例3】已知：如图，ABCD是正方形，ZfAEZFAE.求证：BE+DF=AE・【例4】如图所示，A4BC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的ZMDN,点M、N分别在AB、AC上，求AAMV的周长・【例5】五边形ABCDE中，AB=AE f BC+DE二CD, ZABC+ZAED=180°,求证：AD 平分ZCDE板块四.与角平分线有关的全等问题【例1】如图，已知WC的周长是21, OB , OC分别平分ZABC和ZACB 9 OD丄3C于D,且OD = 3,求A4BC的面积•【例2】在W3C中.D为BC边上的点,已知ZE4£> = ZCAD 9 BD = CD.求证：AB = AC.【例3】已知比ABC中，AB = AC9 BE. CD分别是ZABC及ZACB平分线.求证：CD = BE・【例4】已知AABC中，ZA = 60 , BD. C£分别平分ZABC和ZACB , BD、CE交于点O,试判断处、CD. BC的数量关系，并加以证明.【例5】如图，已知E是AC上的一点，又Z1 = Z2, Z3 = Z4.求证：ED = EB.D【例6】（“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD中，BCT, ZBAD的角平分线交BC于点E, EF丄ED交AB于F,贝【）EF二 ________________________________________ .【例7】如图所示，已知A4BC中，AD平分ZBAC, E.F分别在BD.ADA L. DE = CD9 EF = AC •求证：EF // AB【巩固】如图，在A4BC中，AD交BC于点6 点£是肚中点，必〃AD交C4的延长线于点八交AB于点G,若BG = CF,求证：AD为ABAC的角平分线.【巩固】在AABC中.AB>AC 9 AD是ABAC的平分线.P是AD上任意一点.求证: AB-AC>PB-PC・【例8】如图，在AABC中，ZB = 2ZC, ABAC的平分线AD交与D.求证：AB + BD = AC.【例9】如图所示，在A4BC中，AC>AB, M^JBC的中点，AD是ABAC的平分线，若CF丄AD 且交AD的延长线于F,求证MF = ^(AC-AB).【巩固】如图所示，AD是中ZBAC的外角平分线，CQ丄AD于D, £是3C的中点，求证DE//AB且DE斗AB + AC).2【巩固】如图所示，在A4BC中，AQ平分ABAC 9 AD = AB9 CM丄AD于求证AB + AC = 2AM .【例10】如图，A4BC中，AB = AC9 BD. CE分别为两底角的外角平分线，AD丄BD于D, AE丄C£于£\求证：AD = AE.【巩固】已知：AD和他分别是/XABC的ZCAB和ZCBA的外角平分线，CD丄AD 9 CE丄BE,求证：(1) DE//AB；⑵ DE= ^(AB + BC + CA).【例11】在比4BC中，MB. NC分别是三角形的外角/ABE. ZACF的角平分线，AM丄3M, /W 丄CN 垂足分别是M、N .求证：MN 〃 BC , MN = ^(AB + AC + BC)【巩固】在AABC中.MB、NC分别是三角形的内角ZABC ZACB的角平分线，AM丄3M, AN丄CN 垂足分别是M、N.求证：MN//BC , MN = t(AB + AC-BC)M【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD过C作C£丄AB^E, ^AE = -(AB+AD)9则ZABC+ZADC等于多少？2【例12】如图，ZA + Z£)= 180°, 处平分ZABC,平分ZBCD 9点E在AD上.①探讨线段仞和BC之间的等量关系.②探讨线段处与CE之间的位置关系.I)版块一、倍长中线【例I】已知：WC中，AM是中线.求证：皿M + ©【巩固】(2002年通化市中考题中，AB = 5.AC = 9f则边上的中线AD的长的取值范围是什么？【例2】如图，比ABC中，AB<AC , AD是中线・求证：^DAC<ZDAB.【例3】如图，已知在A4BC中，AD是边上的中线，£是AD±一点，延长处交AC于F, AF = EF,求证：AC = BE.BC 于 G,求证GD=GE.已知AM为A43C的中线，ZAMB, ZAMC的平分线分别交初于£、交AC于F.求证:BE + CF>EF.【例6】在RtMBC中，ZA = 90°,点D为BC的中点，点E、F分别为AC上的点，且【例4】已知△ABC, ZB=ZC, D9 E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底【例5】4AED丄FD・以线段处、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【巩固】如图所示，在AABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN,如果BM2+CN2 = DM2 + DN29 求证AD2 =^（AB2+AC2）.【例7】（2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组）在RtMBC中，F是斜边AB的中点，D. £分别在边C4. CB±,满足5应=90。