积分常用公式一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=⎰2．111++=⎰αααx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x+=⎰ln 14．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=⎰ 6．C x xdx +-=⎰cos sin 7．C x xdx +=⎰sin cos8．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 229．C x dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec 11．C x xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．C x dx x+=-⎰arcsin 112（或12arccos 11C x dx x+-=-⎰）13．C x dx x +=+⎰arctan 112 （或12cot 11C x arc dx x +-=+⎰）14．C x xdx +=⎰cosh sinh 15．C x xdx +=⎰sinh cosh二．常用不定积分公式和积分方法：1．C x xdx +-=⎰cos ln tan 2．C x xdx +=⎰sin ln cot3．C axa x a dx +=+⎰arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122 5．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．C axx a dx +=-⎰arcsin22 8．C a x x a x dx +±+=±⎰2222ln9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．C a x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：C x F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ但并未明显做变换相当于令 12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：C x F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ令 注：要求代换)(t ϕ单调且有连续的导数，且“换元须还原”13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vdu uv udv14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。

“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：令2tan x u =，则212sin u u x +=，2211cos u u x +-=，du u dx 212+= 15．有理真分式)()()(m n x Q x p m n <分解定理：(1). 分母)(x Q m 中如果有因式ka x )(-（k 为正整数），则分解式中有下列k 个最简分式之和： kk a x A a x A a x A )()(221-++-+- （k A A A ,,,21 都是常数）(2) 分母)(x Q m 中如果有因式kq px x )(2++（k 为正整数），其中042<-q p ，则分解式中有下列k 个最简分式之和：kk k q px x N x M q px x N x M q px x N x M )()(22222211++++++++++++（k M M M ,,,21 ，k N N N ,,,21 都是常数）三．积分时常用的三角恒等变换公式：1．1cos sin 22=+x x 2．x x 22sec tan 1=+ 3．x x 22csc cot 1=+ 4．22cos 1sin 2xx -=5． 22cos 1cos 2x x +=6．)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα++-= 7．)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα++-=8．)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα+--=四．定积分的性质 1．⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([2．⎰badx x kf )(⎰=b adx x f k )(3．定积分对积分区间具有可加性：⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(（a 、b 、c 大小任意）4．保号性：若在],[b a 上，)()(x g x f ≥，则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(推论1：若在],[b a 上，0)(≥x f ，则0)(≥⎰badx x f推论2：若在],[b a 上)(x f 可积，则)(x f 在区间],[b a 上也可积，且⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(5．估值定理：若在],[b a 上，M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰6．积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ注：可以证明当上述a =ξ或b =ξ时，必另有),(b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 不变号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ五．微积分基本定理：1． 变上限积分函数的导数：若)(x f 在],[b a 上连续，则函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'推论1：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x b 在],[b a 上可导，则)()]([)()(x b x b f dt t f x b a '⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 推论2：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x a 、)(x b 在],[b a 上可导，则)()]([)()]([)()()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '⋅-'⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 提示：当被积表达式中有变量x 时，求变上限积分函数对x 的导数时，一定要先设法把x 从被积表达式中消掉（此时把x 看作常数，或从积分号中提出去或换元消除） 2． 牛顿——莱布尼兹公式：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 为)(x f 在],[b a 上的任意一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰即可，以此类推。

六．定积分的计算方法和常用定积分公式：1． 定积分换元法：设)(x f 在],[b a 上连续，做代换)(t x ϕ=，若)(t ϕ'连续，当t 在],[βα(或],[αβ)上变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且a =)(αϕ，b =)(βϕ，则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)( “换元必换限”2． 分部积分法：⎰⎰-=b aba bavdu uv udv3． 对称性：若)(x f 在],[a a -上连续，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(当)(x f 为奇函数时，0)(=⎰-aadx x f4． 设)(x f 是周期为T 的周期函数，则)(x f 在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即=⎰+Ta adx x f )(⎰Tdx x f 0)(5． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅--⋅-⋅⋅--⋅-===⎰⎰的正奇数为大于为正偶数11325423122143231cos sin 2020n n n n n n n n n n xdx xdx I n n n πππ6．⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf七．定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性） 1． 平面图形的面积：（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分） (1) 直角坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线)(x f y =，)(x g y =（)()(x g x f ≥），直线a x =及b x =（b a <）围成，则⎰-=badx x g x f A )]()([若平面图形由曲线)(y x ϕ=，)(y y ψ=（)()(y y ψϕ≥），直线c y =及d y =（b a <）围成，则⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ(2) 曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）若平面图形由曲线⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，直线a x =、b x =（b a <）及x 轴围成的曲边梯形，则⎰⎰'==21)()(t t badt t t ydx A ϕψ，其中)(11a t -=ϕ，)(12b t -=ϕ(3) 极坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线)(θρρ=，射线αθ=及βθ=（βα<）围成的曲边扇形，则⎰=βαθθρd A )(2122． 立体的体积(1) 已知平行截面的面积，求立体的体积：已知立体垂直于x 轴的截面面积为)(x A ，b x a ≤≤，则 ⎰=badx x A V )((2) 旋转体的体积(a) 由曲线)(x f y =，直线a x =、b x =（b a <）及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积 ⎰=bax dx x f V )(2π（薄片法）(b) 由曲线)(x f y =，)(x g y =（0)()(≥≥x g x f ）直线a x =及b x =（b a <）围成的图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=bax dx x g x f V )]()([22π（薄片法）由曲线)(y x ϕ=，)(y x ψ=（)()(y y ψϕ≥）直线c y =及d y =（d c <）围成的图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=dc x dy y y y V )]()([2ψϕπ （柱壳法）(c) 由曲线)(y x ϕ=，直线c y =、d y =（d c <）及y 轴围成的曲边梯形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积 ⎰=dcy dy y V )(2ϕπ（薄片法）(d) 由曲线)(y x ϕ=，)(y x ψ=（0)()(≥≥y y ψϕ）直线c y =及d y =（d c <）围成的图形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=dcy dy y y V )]()([22ψϕπ（薄片法）由曲线)(x f y =，)(x g y =（)()(x g x f ≥）直线a x =及b x =（b a <）围成的图形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积⎰-=bay dx x g x f x V )]()([2π （柱壳法）3． 平面曲线的弧长(a) 直角坐标系下的弧长公式 ⎰'+=badx y s 2)(1或⎰'+=dcdy x s 2)(1(b) 参数方程下的弧长公式 ⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22 (c) 极坐标系下的弧长公式 ⎰'+=βαθθρθρd s )()(22八．定积分的物理应用（微元法分析）1．变力做功 （用到的中学物理公式S F W ⋅=（功=常力⨯距离）） 2．液体的侧压力（用到的中学物理公式A P F ⋅=（压力=压强⨯面积），hg P ⋅⋅=ρ（压强=密度⨯重力加速度⨯深度）） 3．引力 （用到的中学物理公式2rMmkF =，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解到各坐标轴上再用定积分）九. 广义积分：1．无穷区间上的广义积分：设)(x f 在下列给定的区间上连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则 (1) )()()(a F F dx x f a -+∞=⎰+∞, 其中)(lim )(x F F x +∞→=+∞，(2) )()()(-∞-=⎰∞-F b F dx x f b， 其中)(lim )(x F F x -∞→=-∞(3))()()(-∞-+∞=⎰+∞∞-F F dx x f ，其中)(lim )(x F F x +∞→=+∞，)(lim )(x F F x -∞→=-∞若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。