《经济数学基础3》形考作业二讲评(满分100分)第3章 随机变量与数字特征（上）一、单项选择题(每小题2分，共18分)1、设离散型随机变量X 的分布列为 0123~0.20.30.1X c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若c 为常数，()F x 为分布函数，则（B ）。

A. 0.4,(2)0.3c F ==B. 0.4,(2)0.9c F ==C. 0.3,(2)0.3c F ==D. 0.3,(2)0.9c F ==分析：根据概率分布的性质1k kp =∑，可以确定c=0.4，可以排除C 、D ，再根据分布函数()Fx P X x ≤（）=，(2)(2)(0)(1)(2)0.20.40.30.9F P X P X P X P X =≤==+=+==++=,故本题选B 。

2、设离散型随机变量X 的分布列为()(1,2,,)3aP X k k n n=== ，则a =（D ）。

A. 13B. 1C. 2D. 3分析：根据概率分布的性质1k kp =∑，由于()(1,2,,)3aP X k k n n=== 即1(1)(2)()3k kap P X P X P X n n n===+=++==⨯∑ ，求得3a =，故选D 。

3、设随机变量X 的密度函数的是,02()0,Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它，则A =（C ）。

A. 2B. 3C.12 D. 13分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质1()f x dx +∞-∞=⎰来考虑。

22200111()222f x dx Axdx Ax A A +∞-∞=====⎰⎰，解得,故选C 。

4、设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则()P a X b <<=（D ）。

A. F a F b ()()-B. F x x ab ()d ⎰ C. ()()f a f b - D. ()d baf x x ⎰分析：参看教材P119定义3.2，故选D 。

5、设随机变量X 服从均匀分布，其概率密度函数为,35()0,c x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ，则c =（B ）。

A. 13B. 12C. 1D. 2分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质1()f x dx +∞-∞=⎰来考虑。

553311()22f x dx cdx c x c +∞-∞=====⎰⎰，解得c ，故选B 。

6、设随机变量~()X πλ（泊松分布），且已知(2)(3)P X P X ===，则常数λ=（C ）。

A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 分析：根据泊松分布的定义() 0,1,2,0!kP X k e k k λλλ-===> （；）由(2)(3)P X P X ===，则有23=32!3!ee λλλλλ--=，解得，故选C 。

7、设随机变量~(0,1)X N ，又常数c 满足()()P X c P X c ≥=<，则c =（B ）。

A. 1- B. 0 C.12D. 1 分析：根据标准正态分布的定义，()1-()=()1()=()0.5=02P X c P X c P X c P X c c c ≥=<<<Φ=，即，查表知，故选B 。

8、每张奖券中末尾奖的概率为0.1，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为X ，则X 服从（C ）。

A.泊松分布B. 指数分布C.二项分布D. 正态分布 分析：由于购买奖券只有两个结果：中奖与未中奖，购买了20张，即这种试验重复了20次，随机变量服从二项分布。

故选C 。

9、设随机变量~(3,2)X N -，则X 的概率密度函数()f x =（B ）。

A. 22()x x --∞<<+∞2(3)4()x x +--∞<<+∞C. 2(3)4()x x +--∞<<+∞2(3)4()x x ---∞<<+∞分析：参看教材P123正态分布的定义，故选B二、填空题(每小题2分，共18分)1、设随机变量~()X πλ，且已知(1)(2)P X P X ===，则常数(4)P X ==223e -。

分析：根据泊松分布的定义() 0,1,2,0!kP X k e k k λλλ-===> （；）由(1)(2)P X P X ===，则有2=21!2!ee λλλλλ--=，解得，42222(4)=4!3P X e e --== 2、设随机变量~(0,1)X U ，则X 的分布函数F x ()=0,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩。

分析：由~(0,1)X U ，知0,1a b ==，根据教材P133均匀分布的分布函数，知F x ()=0,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩。

3、设每次打靶中靶的概率是p ，则10次独立射击中至多有2次中靶的概率为82(1)(3681)p p p -++。

分析：设X 表示10次独立射击中中靶的次数，则~(10,)X B p ，10次独立射击中至多有2次中靶的概率为010192882(0)(1)(2)101010(1)(1)(1)012(1)(1836)P X P X P X p p p p p p p p p =+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-++4、设2~(,)X N μσ，则(||3)P X μσ-≤=0.9974。

分析：由2~(,)X N μσ，(||3)(33)(33)X P X P X P μμσσμσσ--≤=-≤-≤=-≤≤,根据P126相关内容，知(0,1)X N μσ- ,所以(||3)(3)(3)(3)(1(3))2(3)120.998710.9974P X μσ-≤=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=⨯-=5、设22()xt x e dt -Φ=⎰，则(0)Φ=0.5。

分析：这是标准正态分布的分布函数，查表知(0)Φ=0.56、设随机变量X 的分布函数()arctan ()F x A B x x =+-∞<<+∞，则常数A =12，B =1π。

分析：根据P131分布函数的基本性质lim ()0,lim ()1x x F x F x →-∞→+∞==，则有1()0lim ()lim (arctan )022,1lim ()lim (arctan )1()12x x x x A A B F x A B x F x A B x B A B πππ→-∞→-∞→+∞→+∞⎧⎧=+-==+=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨=+=⎪⎪⎪⎩=+=⎪⎪⎩⎩即，解得 7、设随机变量X 的分布函数是()F x ，则()P a X b <≤=()()F b F a -。

分析：参看教材P131分布函数定义。

8、已知连续型随机变量X 的分布函数F x ()，且密度函数()f x 连续，则()f x =()F x '。

分析：参看经济数学基础1，变上限定积分部分内容。

9、设随机变量2~(13,5)X N ，且()0.8413P X k ≤=，则k =18。

分析：由2~(13,5)X N ，(01)X Y N μσ-=，，所以()()()0.841313==1185X k k P X k P k k k μμμσσσμσ---≤=≤=Φ=--=查表知，解得三、解答题(每小题8分，共64分)1、袋中装有5个大小、形状相同的球，编号为1~5，现从中任取3个球，设X 表示取出的3个球中最大号码数，试求（1）X 的概率分布列； （2）X 的分布函数()F x ； （3）(2 4.5)P X ≤<。

分析：（1）任取3个球，全部可能的取法有3510C =,X 表示取出的3个球中最大号码数.若X=3，那么剩余两个数字只能是1和2，即只有1种可能的结果；若X=4，剩余的两个数字可以从1、2、3三个数字中任选两个，有233C =种可能的结果；若X=5，剩余的两个数字可以从1、2、3、4四个数字中任选两个，有246C =种可能的结果。

（2）(3)0;(34)(3)(3)0.1;(45)(4)(34)0.10.30.4(5)(45)(5)0.40.61P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X <=≤<==+<=≤<==+≤<=+=≥=≤<+==+=（3）根据离散型随机变量分布函数定义（P132）解答：（1） 345~0.10.30.6X ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）0,30.1,34()0.4,451,5x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ ；（3）(2 4.5)(3)(4)0.10.30.4P X P X P X ≤<==+==+= 。

2、已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率。

分析：100个产品，有放回地取3次，每次取1个，共有1113100100100100C C C =种取法。

恰有2个次品，意味着在有放回地3次取法中，2次取到次品，一次取到正品，这个结果是明确的，这样就有11125595955C C C =⨯种取法。

解答：所取的3个产品中恰有2个次品的概率为23955100⨯ 。

3、设随机变量X 的概率分布列为123456~0.10.150.20.30.120.10.03X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求(4),(25),(3)P X P X P X ≤≤≤≠。

分析：根据离散型随机变量分布函数定义（P132） 解答：(4)0.10.150.20.30.120.87P X ≤=++++= ； (25)0.20.30.120.10.72P X ≤≤=+++= ；(3)1(3)10.30.7P X P X ≠=-==-=。

4、设随机变量X 具有概率密度2,0()0,x x f x θ≤≤⎧=⎨⎩其它试求（1）θ ； （2） (0.5),(0.252)P X P X ≤<<。

分析：（1）由概率密度函数性质确定θ，本题要求掌握定积分计算知识；（2）由连续型随机变量的定义确定，本题要求掌握定积分计算知识。

解答：（1）2200()2|11f x dx xdx x θθθθ+∞-∞====⇒=⎰⎰ ；（2）0.510.25(0.5)20.25 15(0.252)2 16P X xdx P X xdx ≤==<<==⎰⎰；。

5、已知某型号电子管的寿命X （单位：h ）服从指数分布，其概率密度为10001,0()10000,xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它，一台仪器中有3只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作，求仪器正常工作1000h 以上的概率。