2015四川高考数学模拟试题（理科）考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．若集合{}{}22|228,|20x A x Z B x x x +=∈<≤=∈->R ,则R C B A （）所含的元素个数为（ ）A ．5B ．4C ． 3D ．22．若复数11a iz i i-=--+是实数（其中,a R i ∈是虚数单位），则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23．设，则)]22(ln [+f f ＝（ ）A ．15log 5B ．2C ．5D ．)13(log 25+e 4．在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ︒∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+的值为A ．23 B ．34C ．56D ．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．22 B ．52 C ．62D ．36．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数 )0(2>+=m y m x z 的最大值为2，则)3sin(π+=mx y 的图 象向右平移6π后的表达式为A.)62sin(π+=x y B.)6sin(π+=x y C.x y 2sin = D.)322sin(π+=x y 7．等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ， ，1515S a 中最大的项为（ ） A ．66S a B ．77S a C ．99S a D ．88Sa 8．现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有 A ．60种 B ．54种 C ．48种 D ．42种9．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（ ） A ．332 B ．315 C ．2 D ．21010．若函数a ax x y +-=23在)1,0(内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3[0,]2B ． 3(,0][,)2-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．3[,)2+∞第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（共5小题，每题5分，满分25分，请将答案填写在答题卡中的横线上）11．51(1)(2)x x x++的展开式中的常数项为 ．12．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2 ......420，则抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是 ．13．已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是________．14．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则1224x y x y++-的最小值为 ．15．对于定义域为[0,1]的函数)(x f ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为理想函数．下面有三个命题： （1）若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ；（2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x是理想函数；（3）若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且0)]([x x f f =，则0)(x x f =；其中正确的命题是_______．（请填写命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分，其中16至19题，每题12分，20题满分13分，21题满分14分，解答应写出必要的演算过程、文字说明和解题步骤）16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足22243()S a b c =+-． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若tan 21tan A cB b+=，且8AB BC =-，求c 的值． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得n n T S >成立，若存在，求出n 的最小值，若不存在，说明理由．18．（本小题满分12分）2015年3月15日，中央电视台揭露部分汽车4S 店维修黑幕，国家工商总局针对汽车制造行业中的垄断行为加大了调查力度，对汽车零部件加工的相关企业开出了巨额罚单．某品牌汽车制造商为了压缩成本，计划对A 、B 、C 三种汽车零部件进行招标采购，某著名汽车零部件加工厂参入了该次竞标，已知A 种零部件中标后即可签合同，而B 、C 两种汽车零部件具有很强的关联性，所以公司规定两者都中标才能签合同，否则都不签合同，而三种零部件是否中标互不影响．已知该汽车零部件加工厂中标A 种零部件的概率为34，只中标B 种零部件的概率为18，B 、C 两种零部件签订合同的概率为16．（Ⅰ）求该汽车零部件加工厂C 种汽车零部件中标的概率；（Ⅱ）设该汽车零部件加工厂签订合同的汽车零部件种数为X ，求X 的分布列与期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，D 2PA =AB =A =，四边形CD AB 满足D AB ⊥A ，C//D B A 且C 4B =，点M 为C P 中点，点E 为C B 边上的动点，且CλBE=E ．（Ⅰ）求证：平面D A M ⊥平面C PB ；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角D P -E -B 的余弦值为23？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）设椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）,1F ,2F 为左、右焦点，B 为短轴端点，且421=∆F BF S ，离心率为22，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，且满足 ||||ON OM ON OM -=+?若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==--- （Ⅰ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间； （Ⅱ）若对任意()10,,02x g x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的最小值； （Ⅲ）设()()1112,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同两点，线段AB 中点为C ()00,x y ，直线AB 的斜率为k ．证明：()0k f x '>．参考答案1．D【解析】由，得，解得，由于，，由，得或，因此，因此所含两个元素2、C．【解析】()()()() 1121111i i a i a ia iz ii i i-+---+-=--==+++是实数，21,1a a∴-=∴=，故选C．3．B【解析】由题可知，自变量322ln<+，故84)22(ln2ln==+ef，25log25log)8(255===f，即有)]22(ln[+ff＝2．4．A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，知||1BD=，||3AD=，||2DC=，∴3(0,)2AO=-，(1,3)AB=--，(3,0)BC=，∵AO AB BCλμ=+，∴3(0,)(1,3)(3,0)2λμ-=--+，即30332λμλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1216λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴23λμ+=．故选A．5．B【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABES S S=⨯⨯===⨯⨯=151522ACDS=⨯⨯=，故选B．6．C 【解析】作出可行域与目标函数基准线x my 2-=，由线性规划知识，可得当直线y m x z 2+=过点)1,1(B 时，z 取得最大值，即121=+m，解得2=m ；则)32sin(π+=x y 的图像向右平移6π个单位后得到的解析式为x x y 2sin ]3)6(2sin[=+-=ππ.7．D 【解析】由161516S S a =+，又150S >，160S <，所以160a <． 又1158158()20,022a a n a nS a +⋅==>∴>．所以数列的公差小于0，且10a >．所以1790,0S a <∴<．由19599()92022a a a S +⨯==>．所以99S a <0，因为前八项是递减且为正，由1(1)2n n nS a n a a =+所以前八项{}n n S a 递增，又有88S a >0．故选D ．8．D 【解析】解：设能胜任两种工作的那个人为A ，记为A 不选派A 的方法数C 43C 32=12；A 被选为英语翻译工作的方法数C 42C 32=18；A 被选为电脑软件设计工作的方法数 C 43C 31=12， 故不同的选法种数为42，故选D ．9．A 【解析】因为直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设111122,,,,,A x y B x y P x y ，所以2121PAy y k x x ，2121PB y y k x x ，由题意得222121212221212113PA PBy y y y y y k k x x x x x x ，又由2211221x y a b ，2222221x y ab ，相减得2222212122x x y y ab，即222212222113y y b a x x ，2213b a ，所以2222242333a c ab eaa a 故正确答案为A 10．B 【解析】232y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以，32y x ax a =-+在()0,1单调递增，在()0,1无极值，符合题意，所以0a ≤；②当0a >时，0y '=即2320x a -=解得：1266,33a a x x =-=，当66,,33a ax ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，0y '>，当66,33a a x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以a ax x y +-=23的单调递增区间为：66,,,33a a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；单调递减区间为：66,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当63a x =-时原函数取得极大值，当63ax =时，原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，需满足：613a ≥解得：32a ≥，综合①②，a 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，所以答案为 11．40【解析】51(2)x x +的展开式的通项为55521551(2)()2rr r r r r r T C x C x x---+==，520r -=，52r =不合题意，521r -=-，3r =，因此展开式中的常数项为3535240C -=． 12．6【解析】因为区间[]241,360内的人数共有3602411120,-+=每20人抽取一人，因此共抽120=620人，即编号在区间[]241,360内的人数是6人 13．914【解析】设实数x ∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x ，输出的值为8x+7，令8x+7≥103得x≥12，由几何概型得到输出的x 不小于103的概率为3012930214P -==-．14．56【解析】12112()24624x y x y x y x y +=++-+-[(24)()]x y x y ++-12(24)[3]624x y x y x y x y-+=+++- 因为0x y >>，所以240x y +>，0x y ->，由基本不等式得1215(32)2466x y x y +≥+=+-．15．①②③【解析】（1）取120x x ==，代入)()()(2121x f x f x x f +≥+，可得000f f f ≥+（）（）（）,即00f ≤（），由已知对任意的]1,0[∈x ，总有0f x ≥（）可得00f ≥（），∴0)0(=f ;（2）显然])1,0[(12)(∈-=x x f x在[0]1，上满足00f ≥（）；②1)1(=f ．若0,021≥≥x x ，且121≤+x x ， 则有1212211212[]212121221[]10x x x x x x f x x f x f x ++-+=---+-=--≥（）（）（）（）（）（）（）,故21xf x =-（）满足条件①②③，所以21xf x =-（）为理想函数． 由条件③知，任给[01]m n ∈、，，当m n ＜时，由m n ＜知[]01n m -∈，， ∴f n f n m m f n m f m f m =-+≥-+≥（）（）（）（）（）． 若00f x x （）＞，则000[]f x f f x x ≤=（）（），前后矛盾； 若00f x x （）＜，则000[]f x f f x x ≥=（）（），前后矛盾． 故00f x x =（）．∴三个命题都正确，答案为①②③． 16．【解析】（Ⅰ） 1sin 2S ab C =，且2222cos a b c ab C +-=． 因为22243()S a b c =+-，所以14sin 23cos 2ab C ab C ⨯=，所以tan 3C =， 因为0C π<<，所以π3C =； （Ⅱ）由tan 21tan A cB b+=得：cos sin sin cos 2cos sin A B A B c A B b +=， 即sin 2cos sin C cA B b=又由正弦定理得1cos 2A =， ∴60A =， ∴△ABC 是等边三角形， ∴cos1208AB BC c c ⋅=⨯⨯=-， 所以4c =．17．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，依条件有2426(2)a a a =+，即2111(3)()(52)a d a d a d +=+++，解得12d =-（舍）或1d =， 所以1(1)1(1)n a a n d n n =+-=+-=．由21n n S b +=，得1(1)2n n S b =-， 当1n =时，1121S b +=，解得113b =，当2n ≥时，1111111(1)(1)2222n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-+，所以113n n b b -=，所以数列{}n b 是首项为13，公比为13的等比数列，故13n n b =．（2）由（1）知，3n n n n nc a b ==，所以2311111233333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ①23411111112333333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ② 得3311323144323443n n n n n n T +=-⨯-⨯=-⨯．又11(1)1133122313n n n S -==-⨯-． 所以1211443n n n n T S +-=-⨯，当1n =时，11T S =，当2n ≥时，12110443n n +-⨯>，所以n n T S >， 故所求的正整数n 存在，其最小值是2．18．【解析】（Ⅰ）记A 种零部件为事件A ；B 种零部件为事件B ；C 种零部件为事件C ．由题意，三个事件相互独立．设B 种汽车零部件中标的概率为p ，C 种汽车零部件中标的概率为q ． 则只中标B 种零部件的概率为3()()()()(1)(1)4P ABC P A P B P C p q ==--B 、C 两种零部件签订合同，即两种零件都中标，其概率为()()()P BC P B P C pq ==． 由题意，31(1)(1)4816p q pq ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(1)216p q pq ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2314p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． （Ⅱ）由已知，X 的可能取值为0,1,2，3． 记B 、C 两种零部件签订合同为事件D ，则1()6p D =，5()6p D =． 355(0)()()()(1)4624P X P AD P A P D ====-⨯=； 355(1)()()()468P X P AD P A P D ====⨯=；311(2)()()()(1)4624P X P AD P A P D ====-⨯=； 311(3)()()()468P X P AD P A P D ====⨯=．所以X 的分布列为X0 1 2 3 P 524 58 12418X 的数学期望为551113012324824812EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【解析】（Ⅰ） 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==，又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形,AP AD AB AD ⊥⊥，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB =，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ， AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）存在符合条件的λ．以A 为原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设(2,,0)E t ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B从而(0,2,2)PD =-，(2,2,0)DE t =-，则平面PDE 的法向量为1(2,2,2)n t =-， 又平面DEB 即为xAy 平面，其法向量2(0,0,1)n =， 则121221222cos ,3||||(2)44n n n n n n t ⋅<>===⋅-++，解得3t =或1t =，进而3λ=或13λ=． 20．【解析】（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,由题意得422121=⨯⨯=∆b c S F BF , 22==a c e ，222c b a +=， 解得228,4,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的方程为22: 1.84x y C +=（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,，因为ON OM ON OM -=+，所以有0=⋅ON OM , 设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+,解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>, )21(2)82)(21(4164222222,1k m k m k km x +-+-±-=,所以22212212182,214k m x x k km x x +-=+-=+ ，22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++，要使0=⋅ON OM ,需12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩, 所以283m ≥,即263m ≥或263m ≤-,因为直线y kx m =+为圆的一条切线,所以圆的半径为21mr k =+,222228381318m m r m k ===-++,263r =, 所求的圆为2283x y +=, 此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263m ≤-,而当切线的斜率不存在时，切线为263x =±，与椭圆22184x y +=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±满足0=⋅ON OM , 综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=满足条件． 21．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()()212ln ,'1.g x x x g x x=--=- 当)2(0x ∈，时，()()'0g x g x <，单调递减； 当2()x ∈+∞，时，()(),'0g x g x >单调递增，综上，()g x 的单调递增区间为(2)+∞，，单调递减区间为(0)2，． （Ⅱ）由题意知：()()212ln 0a x x --->，在102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时恒成立，即()()212ln a x x -->在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，又10x ->，2ln 21x a x >∴+- 在区间102⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立． 设2ln ()21x h x x =+-，102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()()()222212ln 22ln '()11x x x x x h x x x -+-+==--又令()21-22ln 0,2m x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，，则()222222'x m x x x x -+=-+= 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()'0,m x m x <单调递减，()1422ln 222ln 202m x m ⎛⎫∴>=--=-> ⎪⎝⎭ ，即()'0h x >在区间102⎛⎫⎪⎝⎭，恒成立，所以()h x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，()12ln 12224ln 2122h x h ⎛⎫<=+=- ⎪⎝⎭，故24ln 2a ≥-． （Ⅲ）证明：21212121ln ln y y x x k x x x x --==--又2102x x x +=所以()()0001212'ln 'x x f x x x x x ====+ ，即证212112ln ln 2x x x x x x ->-+ 不妨设120x x <<，即证：()2121122ln ln x x x x x x -->+，即证：21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设211x t x =>，即证：()21ln 1t t t ->+，也就是要证：4ln 201t t +->+，其中1()t ∈+∞，事实上：设4()ln 21k t t t =+-+，1()t ∈+∞，则()()()()()2222214114'()0111t t t k t t t t t +--=-==>+++ 所以()k t 在(1)+∞，单调递增，因此()()10k t k >=，即结论成立．。