实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论
振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。

建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。

—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。

另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。

试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。

1 多自由度系统振动基础回顾
&&&
++=
M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论
一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:
现对两端作付氏变换得:
[]{}[]{}[]{}{()}M x C x
K x f t ++=&&&2
([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,
并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞
=∫()()j t F f t e dt
ωω+∞
−−∞=∫
(){()}{()}
Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()
()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1
()[()]{()}
{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]
K M j C ωω=−+
阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；
也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。

也即在模态试验中，实际上很难利用阻抗矩。

在系统的一个坐标处加上激励力，而在其它坐标处不加激励力，这一点是容易做到的。

所以，导纳元素是可以通过测试获得的。

在作结构动态分析时，正是利用了这一性质。

要完全确定一个导纳矩阵，必须确定它的每一个元素。

幸运的是如果应用模态分析理论于振动测试，则只需要知道导纳矩阵中的一行或一列元素，便能确定整个导纳矩阵，也就能确定系统的全部动力学特性。

{}q []
Φ{}[]{}
x q =Φ为了推导出模态参数和机械导纳间的关系，现引入模态坐标和振型矩阵12[][{}{}{}{}]
i n ϕϕϕϕΦ=L L 111212122212()()()()()()()()()n n n n nn ϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L L L L L L L
[][]{}[][]{}[][]{}{}M q
C q K q f Φ+Φ+Φ=&&&[][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{}T
T T T M q C q K q f ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ&&&{}{}{}[]{}T i i i m q c q k q f ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟++=Φ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
O O O &&&O O O 左乘以振型矩阵的转置矩阵后得
以上方程可进一步化为
1{}{}n
T
i i i i i i
ji i j m q c q k q f f ϕϕ=++==∑&&&ji ϕ这是一组n 个相互独立的单自由度振动微分方程，其中第i 个方程是
上式中是第i 阶振型的第j 个分量
如果系统仅在p 点受简谐力的作用，
则上式又变为j t p p f F e
ω=j t
i i i i i pi p m q c q k q F e ωϕ++=&&&
3 复模态分析
复模态分析法的适用范围：对称系统和非对称系统。

1）对称系统：质量、阻尼、刚度矩阵为对称矩阵，且阻尼矩阵不满足对角化条件。

定理：当阻尼矩阵正定时，所有特征值都具有负实部，对应于系统衰减的固有运动；当阻尼属于亚临界情形时，所有特征值都是复的，且共轭成对地出现，且每一对共轭复特征值对应于系统中一个具有特定频率与减幅率的衰减固有振动。

()mx
cx kx f t ++=&&&0mx
mx −=&&()y
y F t +=M K &⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=x x y &0()()F t f t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0m m c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 00m k −⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
K
()y
y F t +=M K &t r r r e u x λ=r r r r t t r r r u Y e U e u λλλ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦正交性：模态刚度：模态质量：模态矩阵：
12[]n u U U u λ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
U L diag[]
r λλ=r r r r u U u λ⎡⎤=
⎢
⎥⎣
⎦T
r r r r r
k U U m λ==−K [2]T
T
r r r r r r
m U U u m c u λ==+M 0T r s U U =M 0
T
r s U U =K 0y
y +=M K &122[]n n n u u u ×=L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x y &
模态矩阵的性质：
引入模态变换：
代入运动方程得模态响应：
y z
=U 1
diag[]()T
r z z m u f t λ−−=&diag[]T
i K =U KU diag[]T i M =U MU
[]0r r U λ=M +K ()y y F t +=M K &[]0T
s r V λ=M +K 0m m c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 00
m
k −⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
K 2）非对称系统：质量、阻尼、刚度矩阵为非对称矩阵，阻尼矩阵不满足对角化条件。

1222[]n n n
U U ×=U L 1222[]n n n V V ×=V L 右特征矢量和右模态矩阵：
左特征矢量和左模态矩阵：
加权正交性：0
=r T
s MU V 0T s r V KU ='
T r r r
V MU m =''T r r r r r V
KU k m λ==−公共特征值：][r diag λλ=
122[]n n n
v v v ×=L 122[]n n n u u u ×=L u U u λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦原方程左、右模态矩阵：模态变换：
模态响应：
新方程左、右模态矩阵：Uz
y ='1
diag[()]()T
r z z m v f t λ−−=&v V v λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r r T r r u c m v m ]2['
+=λ。