平方数的性质
平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441, 484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5
(10a+7) =100a+140a+49=20(5a+7a+2)+9
(10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m 2=10k+6，证明k 为奇数。

因为的个位数为6，所以m 的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则
10k+6=(10n+4)2=100n2+(8n+1)x10+6 或
10k+6=(10n+6)2=100n2+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k 为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型。

22
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

性质10：如果质数p 能整除a ，但p 的平方不能整除a ，则a 不是完全平方数。

性质11：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

性质12：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因数(包括1和n 本身) 。

相关文档：
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
更多相关文档请访问：。