回归形式时，Cov( i , j ) 0 。同理也可证明当 i
存在高阶自回归形式时，仍有 Cov( i , j ) 0 。
这里要说明的是，自相关多发生于时间序列数据 中。若出现于截面数据中，称其为空间自相关。
3、序列相关的来源与后果
误差项存在序列相关，主要有如下几个原因。
(1) 模型的数学形式不妥。
(4.57)式，根据(4.62)式的结果，知
Var(βˆ ) E[(βˆ β)(βˆ β)] E[(XX)1 XεεX(XX)1 ] (XX)1 XE(εε)X(XX)1
2 (XX)1 XΩX(XX)1
(4.64)
与 2 (XX)1不等。
第三节 序列相关性
序列相关性含义及引起的后果 序列相关的检验 序列相关的克服
4.3.1 序列相关性含义及引起的后果
一、序列相关的含义及性质
1、序列相关的含义
针对线性模型（2.1）式
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki i
i 1,2,, n
2、DW（Durbin-Watson）检验法
DW检验是J. Durbin, G. S. Watson于1950年发表 的一篇论文《Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression》中提出的。它是利用 残差ei 构成的统计量推断误差项 i是否存在序列 相关。
(1) 只要假定条件 Cov(Xε) 0成立，回归系数 βˆ 仍 具有无偏性。
E(βˆ ) E[(XX)1 XY]
E[(XX)1 X(Xβ ε)]
β (XX)1 XE(ε) β
(4.63)
(2) βˆ 丧失有效性。
如果回归模型中误差项 i 存在一阶自回归形式
i 非序列相关

完全正序列相关
i
i 完全负序列相关
i 有某种程度的正序列相关
i有某种程度的负序列相关
实际中DW = 0, 2, 4 的情形是很少见的。当DW取 值在（0, 2），（2, 4）之间时，怎样判别误差项 是否存在序列相关呢？推导统计量DW的精确抽 样分布是困难的，因为DW是依据残差ei 计算的， 而ei的值又与的形式有关。DW检验与其它统计检 验不同，它没有唯一的临界值用来制定判别规则。 然而Durbin-Watson根据样本容量和被估参数个
E( i ) 0, i 1,2,, n
Var(
i
)


2
,
i 1,2,, n
Cov(i ,i1) 0, i 1, 2, , n
Cov( i , i1 ) 0, i 1,2,, n
针对（4.52）式，利用OLS方法，得到 的估计
公式为，
ˆ =
用残差值 ei计算统计量DW。 n
(ei ei1 )2
DW = i2 n
ei 2
(4.65)
i 1
其中分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差
平方和。
把上式展开，
n
n
n
ei 2
e2 i 1

2
ei ei1
DW = i2
t2
i2
n
ei 2
(4.66)


2


2
/(1
2)
(4.60)
其协方差为
Cov( i , i1 ) E( i i1 )
E[( i1 i ) i1 ]
Var( i1 )
同理


2
Cov( i , is
)


sVar( is )


s
2
(s 0 )
当 Cov( i , j ) E( i j ) 0，(i, j n, i j), 即误
差项 i的取值在时间上是相互无关的。称误差项
i非序列相关。
如果 Cov( i , j ) 0 ， (i j)
(4.51)
则称误差项 i存在序列相关。
序列相关又称自相关。 原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。
i i1 i
(4.57)
的取值范围是 [-1，1]。
当 0 时，称 i存在正序列相关； 当 0时，称 i 存在负序列相关。 当 = 0时，称 i 不存在序列相关。
图4.8 a, c, e, 分别给出具有正序列相关，负序列相
关和非序列相关的三个序列。为便于理解时间序 列的正负序列相关特征，图4.8 b、d、f分别给出 图4.8 a、c、e中变量对其一阶滞后变量的散点图。 正负序列相关以及非序列相关性展现的更为明了。
且与其前若干期的值都有关系时，即
则称 i 具有高阶自回归式。
通常假定误差项的序列相关是线性的。因计量经
济模型中序列相关的最常见形式是一阶自回归形
式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归
形式，即
i i1 i
(4.52)
其中 是序列相关回归系数， i是随机误差项。
i 满足通常假设
(4) 若DW取值在（dL, dU）或（４- dU, 4 - dL） 之间，这种检验没有结论，即不能判别 是否存在 一阶序列相关。
判别规则可用图4.9表示。
DW 图4.9 判别规则
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方 法。
若所用的数学模型与变量间的真实关系不一致， 误差项常表现出自相关。比如平均成本与产量呈 抛物线关系，当用线性回归模型拟合时，误差项 必存在自相关。
(2) 经济变量的惯性。
大多数经济时间序列都存在自相关。其本期值往 往受滞后值影响。突出特征就是惯性与低灵敏度。 如国民生产总值，固定资产投资，国民消费，物 价指数等随时间缓慢地变化，从而建立模型时导 致误差项自相关。
使用DW检验，应首先满足如下三个条件。
(1)误差项 i的自相关为一阶自回归形式。
(2)因变量的滞后值Yi1不能在回归模型中作解释变 量。
(3)样本容量应充分大（n 15）
DW检验的基本思想如下。给出假设
H0: 0（ i 不存在序列相关)
H1: 0 ( i 存在一阶序列相关)
这里主要是指回归模型中随机误差项 i 与其滞
后项的相关关系。 序列相关也是相关关系的一种。
序列相关按形式可分为两类。
(1)一阶自回归形式
当误差项 i 只与其滞后一期值有关时，即 i = f ( i1 ),
称 i 具有一阶自回归形式。
(2) 高阶自回归形式
当误差项 i 的本期值不仅与其前一期值有关，而
因为有
i 1
n
ei 2≈
n
≈ ei12
n
ei 2
代i2入(4.6i62)式，有i1
(4.67)
n
n
2
e2 i 1

2
ei ei1
DW≈
i2
t2
n
e 2 i 1
=2(1-
i2
n
ei ei1
i2 n
)= 2 (1 ˆ)
e 2 i 1
i2
(4.68)
普通最小二乘法得到的回归方程去预测，预测是
无效的。
4.3.2 序列相关的检验
1、定性分析法 定性分析法就是依据残差ei 对时间i的序列图的性
质作出判断。由于残差et是对误差项的估计，所 以尽管误差项 i 观测不到，但可以通过ei的变化 判断 i 是否存在序列相关。
定性分析法的具体步骤是，
c. 正序列相关的序列图
6
U
4
2
0
-2
-4
U (-1) -6
-6 -4 -2 0
2
4
6
d. 正序列相关的散点图
6 4 2 0 -2 -4
U -6
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
e. 负序列相关的序列图
6
U
4
2
0
-2
-4
-6
U (-1)
-6 -4 -2
0
2
4
数，在给定的显著性水平下，给出了检验用的上、 下两个临界值dU和dL 。
判别规则如下：
(1) 若DW取值在（0, dL）之间，拒绝原假设H0 , 认为存在一阶正序列相关。
(2) 若DW取值在（4 - dL , 4）之间，拒绝原假设 H0 ,认为存在一阶负序列相关。
(3) 若DW取值在（dU, 4- dU）之间，接受原假设 H0 ,认为 非序列相关。
(3) 有可能低估误差项 i 的方差。低估回归参数
估计量的方差，等于夸大了回归参数的抽样精度，
过高的估计统计量t的值，从而把不重要的解释变
量保留在模型里，使显著性检验失去意义。
(4) 由于 i 存在自相关时，Var(βˆ j )（ j 1,2,, k ）
和
s
2
都变大，都不具有最小方差性。所以用依据
因为的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值 范围是 [0, 4]。 与DW值的对应关系见表4.1。
表4.1 与0－i <1D< W值的对应关系及意义

DW
i的表现
=0 =1 = －1 0< < 1
-1< < 0
DW = 2 DW = 0 DW = 4 0 < DW < 2 2 < DW <
n
i i1
i2
n
2 i 1 i2
(4.53)
其中n是样本容量。若把 i ， i1 看作两个变量，