高二数学综合测试题
考试范围：必修三统计，2-1逻辑，圆锥曲线，4-4坐标系与参数方程
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”，某记者分别从某社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160人，240人，x人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查，若在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为( )．
A．90B．120C．180D．200
3．下列命题中为真命题的是（）
A．命题“若，则”的否命题B．命题“若，则”的逆命题
C．命题“，”的否定D．命题“若，则”的逆否命题
4．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．D．
5．某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如下图所示.
为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的
样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是（）
A．B．C．D．
6．在空间直角坐标系中三点的坐标分别为，若，则（）A．B．C．D．
7．对，则方程所表示的曲线不可能是( )
A．两条直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线
8．下列四个结论：
①命题“”的否定是“”；
②若是真命题，则可能是真命题；
③“且”是“”的充要条件；
④当时，幂函数在区间上单调递减. 其中正确的是（）
A．①④B．②③C．①③D．②④
9．某单位有名职工，现采用系统抽样方法抽取人做问卷调查，将人按随机编号，则抽取的人中，编号落入区间的人数为
A．17B．18C．19D．20
10．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交
于点，若，则
A．B．C．D．
11．如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以
AB为直径的圆与准线l的公共点为M ，若，则的大小为（）
A．15°B．30°C．45°D．不确定
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知抛物线上有一点到焦点的距离为，则到原点的距离______．
14．双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则________.
15．已知双曲线的标准方程为，且其焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的标准方程为__________．
16．在平面直角坐标系中，已知点是椭圆：上第一象限的点，为坐标原点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则四边形的面积的最大值为__________．
三、解答题（共6个答题，共70分）
17．命题:p 不等式()2
110x a x -++>的解集是R ．命题q ：函数()()1x
f x a =+在定义域内是增函数，若p q
∧为假命题， p q ∨为真命题，求a 的取值范围．
18．已知曲线1C 的极坐标方程为2
cos28ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为=
6
π
θ，曲线12C C 、相交于A B 、两点.
()R ρ∈
(1)求A B 、两点的极坐标；
(2)曲线1C 与直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 2123
1（t 为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度.
19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 (α为参数)，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴的
极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝
.
(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；
(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.
20．我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议
价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分
布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)已知平价收费标准为元/吨，议价收费标准为元/吨，当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数
据用该组区间的中点值代替）
21．设圆2
2
4280x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()2,0B 且与x 轴不重合， l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC
的平行线交AD 于点E .
(1)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设()0,2Q ，过点()1,2P --作直线l '，交点E 的轨迹于,M N 两点 (异于Q ),直线,QM QN 的斜率分别为
12,k k ，证明：12k k +为定值.
22．已知椭圆
的离心率为，椭圆与轴交于
两点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线
分别交于
两点．是否存在点使得以 为直径的
圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.。