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反三角函数

例 试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性,并画出大致图像。

(1)()sin arcsin y x =。

(2)()arcsin sin y x =。

解:(1)()()sin arcsin y f x x x ===。

定义域为[]1,1-。

值域为[]1,1-。

奇函数。

()f x 不是周期函数,且再[]1,1-上单调递增,如图。

(2)()()arcsin sin y f x x ==。

定义域为R 。

值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

奇函数。

()f x 是周期函数,周期为2π。

下面讨论单调性: ① 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()()arcsin sin f x x x ==,为增函数。

② 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-⎡⎤⎣⎦,为减函数。

由函数的周期性,得 ① 区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)为函数()f x 的递增区间,此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-⎡⎤⎣⎦,k Z ∈。

② 区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)为函数()f x 的递减区间,此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-⎡⎤⎣⎦,k Z ∈。

所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈-+⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪+-∈++⎢⎥⎪⎣⎦⎩,k Z ∈。

如图。

1(1)19arcsin sin12π⎛⎫= ⎪⎝⎭512π-。

(2)若12arctan34πα-=,则tan α= (3)函数()()arccos arcsin y x a x a =+--(0a >)的定义域D ={}[]0,11,1,01a a a a ⎧=⎪⎨-+-<<⎪⎩。

(4)函数()21arcsin 2y x x =-的值域是11,arcsin 424π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

解:(1)191955arcsin sinarcsin sin 2arcsin sin 12121212πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦。

(2)1arctan 432πα+=,因此11sin arctan arctan 4343tan tan 121cos arctan 43ππαπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭===⎛⎫++ ⎪⎝⎭。

(3)由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x aa x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。

当11a a -+>-,即1a >时,x 不存在。

当11a a -+=-,即1a =时,{}0x ∈。

当11a a -+<-,即01a <<时,[]1,1x a a ∈-+-。

(4)由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤。

xyO2π2π-2π2π-32π32π- ()arcsin sin y x =2(1)已知1cos 3x =-(32x ππ<<),那么以下四个式子 ①1arccos3π- ②1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭③1arccos 3π+④arcsin 3π+中可以表示x 的式子是(B )(A )①②。

(B )③④。

(C )②④。

(D )①④。

(2)已知等腰三角形的顶角为1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭,则底角的正切值是(A )(A)2。

(B )13-。

(C )3。

(D )13。

(3)化简:4arccos 5+=(C ) (A )7arcsin25。

(B )7arcsin 25-。

(C )7arcsin 25π-。

(D )7arcsin 225π+。

(4)函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是(D )(A )(),ππ-。

(B )33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

(C )33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

(D ),22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

(5)设函数arctan y x =的图像沿x 轴正方向平移2个单位后得到图像与图像C 关于原点对称,那么图像C 所对应的函数是(C )(A )()arctan 2y x =--。

(B )()arctan 2y x =-。

(C )()arctan 2y x =+。

(D )()tan 2y x =+。

(6)使arcsin arccos x x >成立的x 取值范围是(B ) (A)0,2⎛⎝⎦。

(B),12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦。

(C)1,2⎡-⎢⎣⎭。

(D )[)1,0-。

解:(2)底角1arccos 113arccos 223πβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==。

所以1sin arccos 113tan tan arccos 12321cos arccos 3β⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

(3)设4arccos0,52πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,,42ππβ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则32,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭。

又()sin 2sin cos2cos sin2αβαβαβ+=+=33447555525⎛⎫⋅-+⋅=⎪⎝⎭, 所以72arcsin25αβπ+=- (4)函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增,所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦。

3、关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根,求函数sin y x =的反函数。

解:由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭,得2680x x -+<,解得24x <<。

函数sin y x =,()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2。

由()sin sin y x x π==-,且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,有arcsin x y π-=, 即arcsin x y π=-。

将x 与y 互换得到原函数的反函数为:()1arcsin y fx x π-==-,()sin 4,sin 2x ∈。

4、已知a 、b 是Rt ABC ∆的两条直角边,c 为斜边,且11arcsinarcsin 2a b π+=,求证:lg lg lg c a b =+。

证明:由11arcsinarcsin 2a b π+=⇒11arcsin arcsin 2a bπ=-⇒111sin arcsin sin arcsin cos arcsin 2a b b π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒1a =⇒22111a b +=⇒2221c a b=⇒222c a b =⇒()2lg 2lg lg c a b =+⇒lg lg lg c a b =+,得证。

5、求1arctan arctan1xy x x-=++的值。

解:函数的定义域为()(),11,-∞--+∞ 。

221111tan tan arctan arctan 111111xx x x x y x x x x x x-+-+⎛⎫+=+=== ⎪-++⎝⎭-⋅+。

由1x ≠-,111xx-≠-+,有 arctan ,,2442x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,12arctanarctan 1,,112442x x x ππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∈--- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又tan 1y =,所以4y π=或34π-。

(1)当1x >-时,有arctan ,42x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,12arctan arctan 1,1142x x x ππ-⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,所以,2y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭⇒4y π=。

(2)当1x <-时,有arctan ,24x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,12arctan arctan 1,1124x x x ππ-⎛⎫⎛⎫=-∈-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,所以,2y ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭⇒34y π=-。

此外,可以验证1arctan arctan12x y x x π-=+≠±+。

因此,3,114arctan arctan 1,14x x y x x x ππ⎧-<-⎪-⎪=+=⎨+⎪>-⎪⎩。

6、若11x -≤≤,比较()cos arcsin x 与()arcsin cos x 。

解:由arcsin ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得()cos arcsin x =。

下面研究()arcsin cos x 的值。

(1)当01x ≤≤时,有,222x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是 ()arcsin cos arcsin sin 22x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

(2)当10x -≤<时,有,222x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,于是 ()arcsin cos arcsin sin 22x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

所以,当11x -≤≤时,()arcsin cos 2x x π=-。

因为()()cos arcsin arcsin cos 22x x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2π≤(*)02π=<。

所以()()arcsin arcsin cos x x <,11x -≤≤。

注:1、(*)利用了基本不等式的变形2a b +≤a b + 2、本题也可用数形结合求得结果。

在同一坐标系中分别作出函数()cos arcsin y x ==()arcsin cos 2y x x π==-,11x -≤≤。

易发现它们的大小关系。

x。

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