因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故结论②不正确；
因为所有的整数被5除所得余数只能为0,1,2,3,4，所以Z＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故结论③正确；
设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a－b∈[0]，则a－b ＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]，所以k1＝k2，则整数a，b属于同 一“类”，故结论④正确．
思路探究：由M∩P＝{x|5<x≤8}，求得－3≤a≤5.(1)充要条件即－ 3≤a≤5.(2)寻找充分但不必要条件，a可取满足－3≤a≤5的任意 一个值．(3)寻找必要但不充分条件，此时a的取值集合应真包 含{a|－3≤a≤5}．
解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，
因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，
方法二：由新定义的运算，得 A⊙B＝{1,2,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B＝ {1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．
归纳提升：在集合的新定义问题中，出现较多的是在现有运算 法则和运算律的基础上定义一种新的运算．解题时，要抓住两 点：
(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚， 并且能够应用到具体的解题过程中．
④“整数a，b属于同一‘类’”的条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的序号是___③_④___.
思路探究：由整数集Z中“类”的定义可得出，[0]表示5的倍数 组成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝{5n＋2|n∈Z}等，然后 结合题目逐一判断．
解析：因为2 019＝5×403＋4，所以2 019∉[1]，故结论①不正 确；
即a的取值范围为{a|－3≤a≤5}．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但 不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0， 此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a ＝0，故a＝0是所求的一个充分但不必要条件．(答案不唯一)
归纳提升：分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究 时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研 究得出每一类的结论，最后综合各类问题的结论得到整个问题 的解答．分类与整合就是化整为零，各个击破，再积零为整的 数学思想．
①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不 是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少 存在一个”．
②“存在一个实数x，使得|x|≤0”的否定为“对所有的实数x，都有 |x|>0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“所 有的”．
4．条件关系判定的常用结论
条件 p 与结论 q 的关系 p⇒q，且 q p q⇒p，且 p q
(2)因为集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}， 所以 A∪B＝{x|1≤x≤4}． 若非空集合 D＝{x|4－a<x<a}，且 D⊆(A∪B)，
4－a<a，
则有4－a≥1， a≤4，
解得 2<a≤3，
即实数 a 的取值范围为 2<a≤3.
归纳提升：解决集合与方程、不等式综合的参数问题时，要特别注 意两点：
2．集合描述法的两种形式
(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形 式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合， P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如大于1且小 于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1<x<4}．在不会产生 误解的情况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集R中 取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为 {x|1<x<4}．
归纳提升：已知条件p，结论q对应的集合分别为A，B.用集合观 点来理解充要条件，有如下三类：一是两个集合相等，那么p， q互为充要条件；二是两个集合有包含关系，若A B，则p是q 的必要不充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；三 是两个集合没有包含关系，那么p是q的既不充分也不必要条 件．
专题 四
思想方法归纳
典例剖析
1．数形结合思想 已知典集例合7 A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，C＝{x|m－ 1<x<m＋1，m∈R}．
(1)若A∩C＝∅，求实数m的取值范围； (2)若(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围．
思路探究：借助于数轴把集合表示出来，找出满足条件的m的取 值范围．
若 3∈C，则 9－3m＋1＝0，即 m＝130， 此时方程为 x2－130x＋1＝0， ∴x＝3 或 x＝13， 即 C＝{3，13}⊆/ A，∴m≠130. 综上可知，a＝4 或 a＝2，－2<m≤2.
2．集合与不等式的联系
典例 2 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋ 1，m∈A}． (1)求图中阴影部分表示的集合C；
p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q p q，且 q p
结论 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件
专题 一
集合与方程、不等式的联系源自典例剖析1．集合与方程的联系
已知典集例合1A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m 的值或取值范围．
互异性
不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合 中的任何两个元素都是不同的对象，相同的
对象归入同一集合时只能算集合的一个元素
无序性
构成集合的元素间无先后顺序之分
示例
集合A＝{1,2,3}， 则1∈A,4∉A
集合{x，x2－x}中 的x应满足x≠x2－ x，即x≠0且x≠2
集合{1,0}和{0,1} 是同一个集合
第一章
章末整合
知识结构·理脉络 要点梳理·晰精华 素养突破·提技能 真题精练·悟考情
1．集合中元素的三个特性
特征
含义
作为一个集合的元素，必须是确定的，不能
确定性
确定的对象就不能构成集合，也就是说，给 定一个集合，任何一个对象是不是这个集合
的元素也就确定了
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是
(1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元 素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合．
(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算 时，其特殊性容易被忽略，如解决有关 A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B 等集 合问题时，应先考虑空集的情况．
解析：(1)如图1所示．∵A∩C＝∅， 且A＝{x|－4<x<2}，C＝{x|m－1<x<m＋1}， ∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3. 故实数m的取值范围是{m|m≤－5或m≥3}．
(2)∵A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5 或 x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<2}． 又(A∩B)⊆C，如图 2 所示， ∴mm－＋11≤≥12，， 解得 1≤m≤2. 故实数 m 的取值范围是{m|1≤m≤2}．
命题q：x≠2或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2或x≠6}，
命题¬p：x＋y＝8，对应集合为∁UA＝{(x，y)|x＋y＝8}， 命题¬q：x＝2 且 y＝6，对应集合为∁UB＝{(x，y)|x＝2 且 y＝6}＝ {(2,6)}， 显然∁UB ∁UA，所以 A B，即 p 是 q 的充分不必要条件．
归纳提升：数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形” 的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽 象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究 和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合的思想通过 “以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体 化，有助于把握数学问题的性质，有利于达到优化解题的目 的．在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时， 一般要借助数轴或Venn图求解，这都体现了数形结合的思 想．
思路探究：在 C⊆A 中含有 C＝∅这种情况，所以在解题时要考虑集 合 C 为空集的情况，避免漏解．
解析：由题意可知 A＝{1,3}． ∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴a－1＝3 或 a－1＝1， ∴a＝4 或 a＝2. 又 A∩C＝C，∴C⊆A， 若 C＝∅，则 Δ＝m2－4<0，即－2<m<2； 若 1∈C，则 12－m＋1＝0， 即 m＝2，此时 C＝{1}，A∩C＝C，符合题意；
(2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D⊆(A∪B)，求实数a的取值 范围．
解析：(1)因为A＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，
所以B＝{x|2≤x≤4}，
由图可得，C＝A∩(∁UB)， 因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x>4或x<2}， 而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
当3a＋ 2 1<－4，即 a<－3 时， C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}； 当－4≤3a＋ 2 1<5，即－3≤a<3 时， C∩(A∪B)＝{x|3a＋ 2 1<x<5}；
当3a＋2 1≥5，即 a≥3 时，C∩(A∪B)＝∅. 综上可知，当 a<－3 时，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}； 当－3≤a<3 时，C∩(A∪B)＝{x|3a2＋1<x<5}； 当 a≥3 时，C∩(A∪B)＝∅.
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要 但不充分条件就是另求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的 一个真子集．易知当a≤5时，未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，但是 M∩P＝{x|5<x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个a的取 值集合．(答案不唯一)