《项目投标与合同管理》练习题
一、判断改错题
1．中标通知书发出30天内，中标单位应与建设单位依据招标文件、投标书等签订工程承包合同。（√ ）
2．投标文件中的大写金额和小写金额不一致的，以小写金额为准。（×）以大写金额为准。
3．建设工程施工合同范本由《协议书》、《通用条款》、《专用条款》三部分组成，并附有三个附件。（√ ）
4．FIDIC施工合同条件中规定的合同有效期，是指从工程师按合同约定发布的“开工令”中指明的应开工之日起，至工程接收证书注明的竣工日止的日历天数。（×）合同有效期改为施工期。
5．工程师收到承包人递交的索赔报告和有关资料后，应在28天内给予答复，否则视为对方索赔要求已经认可。（√ ）
6．FIDIC合同条件中规定，业主的索赔主要限于施工质量缺陷和拖延工期等违约行为导致的业主损失。（√ ）
7．承包商没按照规定时间提出索赔意向和索赔报告，则失去对该事件请求的索赔权利（√）
8．在承包商提出的费用索赔中，是以实际损失为依据，因此其索赔金3额额均不应包括利润。（×）因此其索赔金额也可暴扣利润
9．FIDIC合同条件，监理工程师有权批准工程分包（√ ）。
10．FIDIC合同条件规定，诉讼是解决合同争议的最终方式（×）。仲裁是
11．《工程建设监理委托合同》是由“标准条件”和“专用条件”两部分组成的通用文本。（×）不是
12．工程招标必须采用公开招标方式（×）。或邀请招标
13．《监理委托合同》经过当事人双方协商一致而终止后，双方的权利和责任也即终止（×）。不立即终止
14．某建筑工程公司下属第四分公司领有营业执照，依法可以承包工程。因此，分公司是一个独立的企业法人。（×）分公司不是一个独立的企业法人
15．经济合同当事人之间发生纠纷时，双方可以约定：请求仲裁或向法院起诉，二者只能选其一。（√ ）
16．要约是希望他人向自己发出要约的意思表示。（×）要约改为邀约邀请。
17．违约责任的表现形式包括不履行和不适当履行。（√ ）
二．单选题
1．合同法律关系是指合同法律规范规定而形成的（C ）关系。
A．债权人与债务人B．代理人与被代理人
C．权利与义务D．法人与自然人
2．施工企业的项目经理指挥失误，给建设单位造成损失的，建设单位应当要求（ A ）赔偿。
A．施工企业B．施工企业的法定代表人
C．施工企业的项目经理D．具体的施工人员
3．邀请招标的邀请对象的数目不应少于（B ）家。
A．2．B．3 C．5 D．7
4．合同争议的解决顺序为（ A ）
A．和解—调解—仲裁—诉讼B．调解—和解—仲裁—诉讼
C．和解—调解—诉讼—仲裁D．调解—和解—诉讼—仲裁
5．由于承包商的原因导致监理单位延长了监理服务的时间，此工作内容应属于（ B ）
A．正常工作B．附加工作C．额外工作D．义务工作
6．施工合同的合同工期是判定承包人提前或延误竣工的标准。订立合同时约定的合同工期概念应为，从（ C ）的日历天数计算。
A．合同签字日起按投标文件中承诺
B．合同签字日起按招标文件中要求
C．合同约定的开工日起按投标文件中承诺
D．合同约定的开工日起按招标文件中要求
7．工程师要求的暂停施工的赔偿与责任的说法错误的为（ B ）
A．停工责任在发包人，由发包人承担所发生的追加合同价款，赔偿承包商由此造成的损失，相应顺延工期
B．停工责任在承包人，由承包人承担发生的费用，相应顺延工期
C．停工责任在承包人，因为工程师不及时做出答复，导致承包人无法复工，由发包人承担违约责任
D．停工责任在承包人，由承包人承担发生的费用，工期不予顺延
8．根据专用条款约定的内容和时间，不属于发包人的工作范畴的是（C ）。
A．办理土地征用，拆迁补偿、平整施工场地等工作，使施工场地具备施工条件，并在开工后继续解决以上事项的遗留问题
B．向承包人提供施工场地的工程地质和地下管线资料，保证数据真实，位置准确C．提供年、季、月工程进度计划及相应进度统计报表
D．确定水准点与坐标控制点，以书面形式交给承包人，并进行现场交验
9．如果投标截止日期前第28天后，由于法律．法令和决策变化引起承包商实际投入成本的增加，应由（ A ）给予补偿。
A．业主B．承包商C．工程师D．特殊分包商
10．工程分包的说法错误的为（A ）。
A．是违法的B．是从工程承包人承担的工程中承包部分工程的行为
C．是允许的D．非发包人同意，承包人不得将承包工程的任何部分分包11．施工中遇到连续10天超过合同约定等级的大暴雨天气而导致施工进度的延误，承包商为此事件提出的索赔属于应（D ）。
A．由承包商承担的风险责任B．给予费用补偿并顺延工期
C．给予费用补偿但不顺延工期D．给予工期顺延但不给费用补偿
12．材料采购在交货清点数量时发现，交货数量少于订购的数量，但数量的短少在合同约定的允许磅差范围内。采购方应（B ）。
A．拒付货款并索赔B．按照订购数量及时付款
C．按照实际交货数量及时付款D．待供货方补足数量后再付
13．在进度控制中，（ B ）不属工程师的任务。
A．督促承包人完成工程扫尾工作B．向有关部门递交竣工申请
C．协调竣工验收中的各方关系D．参加竣工验收
14．由于业主提供的设计图纸错误导致分包工程返工，为此分包商向承包商提出索赔。承包商（ C ）
A．因不属于自己的原因拒绝索赔要求
B．认为要求合理，先行支付后再向业主索要
C．不予支付，以自己的名义向工程师提交索赔报告
D．不予支付，以分包商的名义向工程师提交索赔报告
15．施工中遇到连续10天超过合同约定等级的大暴雨天气而导致施工进度的延误，承包商为此事件提出的索赔属于应（D ）。
A．由承包商承担的风险责任B．给予费用补偿并顺延工期
C．给予费用补偿但不顺延工期D．给予工期顺延但不给费用补偿
16．合同法律关系主要的是由法律规范调整的（B）
A．行政法律关系B．民事权利义务关系
C．刑事法律关系D．经济侵权关系
17．在工程建设监理活动中，监理单位是（A）
A．业主的代理人B．业主的委托人
C．施工合同的当事人D．绝对独立的第三人
18．经济合同当事人订立的“保证合同”，其法律形式是（B）
A．主合同B．从合同
C．独立合同D．无条件地必须履行的合同
19．仲裁庭做出裁决后，合同当事人应当（A ）
A．按裁决自觉执行B．不服裁决可向上级仲裁机构申请复议
C．可向人民法院起诉D．向合同管理机关申诉
20．《监理合同》规定，由于业主或第三方的原因使监理工作受阻
以或延误，以致增加工作量时，应是为（B ）。
A．额外服务B．附加服务C．延长服务D．非监理服务
21．监理招标的宗旨是指对监理单位（ A ）的选择。
A．能力B．报价C．信誉D．经济实力
22．中标的承包商将由（B ）决定。
A．评标委员会B．业主C．上级行政主管部门D．监理工程师
23．设备安装工程具有联动无负荷试车条件的，应由（ A ）组织试车。
A．建设单位B．设计单位C．施工单位D．设备供应单位
24．业主在（B ）合同中承担的风险最小。
A．可调总价B．不可调总价C．单价D．成本加酬金
25．根据施工索赔的规定，可以认为索赔是指（C ）。
A．只限承包商向业主索赔B．业主无权向承包商索赔
C．业主与承包商之间的双向索赔D．不包括承包商与分包商之间的索赔26．当出现招标文件中的某项规定与招标人对投标人质疑问题的书面回答不一致时，应以( A )为准。
A．招标文件中的规定B．现场考察时招标单位的口头解释
C．招标单位在会议上的口头解答D．发给每个投标人的书面质疑解答文件27．由于承包商的原因使监理单位增加了监理服务时间，此项工作应属于( B )。
A．正常工作B．附加工作C．额外工作D．意外工作
28．下列各项中，( C )不属于工程建设施工招标应具备的前提条件。
A．建设用地征用完毕，施工图纸完成
B．概算已经批准，建设项目已正式列入计划
C．招标文件已经编制好
D．建设资金．建材．设备来源已经落实
29．投标文件对招标文件的响应有细微偏差，包括( C )。
A．提供的投标担保有瑕疵B．货物包装方式不符合招标文件的要求
C．个别地方存在漏项D．明显不符合技术规格要求
30．与邀请招标相比，公开招标的最大优点是( D )。
A．节省招标费用B．招标时间短
C．减小合同履行过程中承包不违约的风险D．竞争激烈
31．施工合同通用条款规定，当施工合同文件中出现含糊不清或不一致时，下列中解释顺序排列正确的为( D )。
A．专用条款．通用条款．中标通知书．图纸
B．中标通知书．协议书．专用条款．通用条款
C．中标通知书．投标书．协议书．图纸
D．中标通知书．专用条款．通用条款．图纸
32．施工合同中，承包人按照工程师提出的施工进度计划修改建议进行了修改，由于修改后的计划不合理而导致的窝工损失应当由( C )承担。
A．发包人B．承包人C．工程师D．发包人与承包人共同
33．合同价款可以有多种约定方式，其不包括（ C ）
A．固定价格合同B．可调整价格合同
C．固定价格加酬金合同D．成本加酬金合同
34．在工程施工中由于( B )原因导致的工期延误，承包方应当承担违约责任。
A．不可抗力B．承包方的设备损坏C．设计变更D．工程量变化35．委托任务并负责支付报酬的一方称（ B ）。
A．承包人B．发包人C．出资人D．出工人
36．受招标人的委托，代为从事招标活动的中介组织是（ C ）。
A．建设单位B．施工单位C．招标代理D．设计单位
37．监理招标主要是对监理单位（ B ）的选择。
A．报价B．能力C．人员数量D．设备
38．合同价款可以有多种约定方式，其不包括（ C ）。
A．固定价格合同B．可调整价格合同
C．固定价格加酬金合同D．成本加酬金合同
39．在进度控制中，（B ）不属工程师的任务。
A．督促承包人完成工程扫尾工作B．向有关部门递交竣工申请
C．协调竣工验收中的各方关系D．参加竣工验收
40．材料采购在交货清点数量时发现，交货数量少于订购的数量，但数量的短少在合同约定的允许磅差范围内，采购方应（ C ）。
A．拒付货款并索赔B．按照订购数量及时付款
C．按照实际交货数量及时付款D．待供货方补足数量后再付
41．工程分包的说法错误的为（ A ）
A 是违法的B是从工程承包人承担 C 是允许的 D 非发包人同意，承包人不得将承包工程的任何部分分包
42．自中标通知书发出（C ）内，建设单位和中标人签订书面的建设工程承发包合同。
A．15天B．21天C．30天D．35天
43．保证方式没有约定或约定不明确的，按（B ）承担担保责任。
A．保证B．连带保证C．违约D．合同
44．当事人采用合同书形式订立的，自（ C ）合同成立。
A．双方当事人制作合同书时B．双方当事人表示受合同的约束时
C．双方当事人签字或盖章时D．双方当事人达成一致意见时
45．确定中标人后（A）内，招标人应当向有关行政监督部门提交招标情况的书面报告。
A．15天B．21天C．30天D．35天
46．下列说法不正确的是（ C ）。
A．招标投标法规定招标方式分为公开招标和邀请招标两类。
B．只有不属于法规规定必须招标的项目才可以采用直接委托方式。
C．建设行政主管部门派人参加开标．评标．定标的活动，监督招标按法定程序选择中标人；所派人员可作为评标委员会的成员，但不得以任何形式影响或干涉招标人依法选择中标人的活动。
D．公开招标中，评标的工作量较大，所需招标时间长，费用高。
三．多选题
1．必须进行招标的项目包括（CDE ）。
A．私人投资的高级别墅B．外国老板投资的基础设施的项目
C．大型基础设施．公用事业等关系到社会公共利益．公众安全的项目
D．全部或部分使用国有资金投资或者国家融资的项目
E．使用国际组织或者外国政府贷款．援助资金的项目
2．工程实际进度与进度计划不符时，承包人应当按照工程师的要求提出改进措施（AB ）。
A．需经工程师确认后才能执行
B．因承包人自身的原因造成工程实际进度与经确认的进度计划不符的，所有后果都由承包商自行承担
C．因承包人自身原因造成的，工程师只对改进措施的效果负责
D．采用改进措施后，必须顺延工期
E．改进措施后，进度仍然不符的，工程师可以要求承包人修改进度计划，并经工程师确认，这种确认是工程师对工程延期的批准
3．施工合同文件中的说法中，正确的有（BDE ）。
A．当合同文件中出现不一致时，必须重新制定合同条款
B．在不违反法律和行政法规的前提下，当事人可以通过协商变更施工合同的内容C．变更的协议或文件，效力与其他合同文件等同
D．签署在后的协议或文件效力高于签署在先的协议或文件
E．当合同文件出现含糊不清或者当事人有不同理解时，应按照合同争议的解决方式处理
4．索赔按目的划分包括（CE ）。
A．综合索赔B．单项索赔C．工期索赔
D．合同内索赔E．费用索赔
5．按照《施工合同文本》规定，在施工中由于( BDE )造成工期延误，经发包人代表确认，竣工日期可以顺延。
A.承包人未能及时调配施工机械
B.发生不可抗力
C.雨季天数增多
D.工程量变化和设计变更
E.一周内非承包人原因停电．停水．停气等造成停工累计超过8小时
6．索赔按目的划分包括( CE )。
A.综合索赔
B.单项索赔
C.工期索赔
D.合同内索赔
E.费用索赔
7．在施工合同中，(A B C D E )等工作应由发包人完成。
A.土地征用和拆迁
B.临时用地．占道申报批准手续
C.提供工程地质报告
D.保护施工现场地下管道和邻近建筑物及构筑物
E.提供相应的工程进度计划及进度统计报表
8．施工合同文件中的说法中，正确的有（BDE ）。
A．当合同文件中出现不一致时，必须重新制定合同条款
B．在不违反法律和行政法规的前提下，当事人可以通过协商变更施工合同的内容C．变更的协议或文件，效力与其他合同文件等同
D．签署在后的协议或文件效力高于签署在先的协议或文件
E．当合同文件出现含糊不清或者当事人有不同理解时，应按照合同争议的解决方式处理
9．建筑工程施工索赔按索赔目的可分为（DE ）
A．单项索赔B．总索赔C．明示索赔D．工期索赔E．费用索赔
10．不符合建设工程委托监理合同特征的有（ABD ）。
A．监理合同可以是个人
B．监理合同的订立必须符合工程建设程序
C．监理合同的订立不需符合工程建设程序
D．委托监理合同的标的是服务
E．委托监理合同的标的物是产生新的物质
11．招标人具备自行招标的能力表现为( BCE )。
A.必须是法人组织
B.有编制招标文件的能力
C.有审查投标人资质的能力
D.招标人的资格经主管部门批准
E.有组织评标定标的能力
12．建设工程施工合同的当事人包括( BD )。
A.建设行政主管部门
B.建设单位
C.监理单位
D.施工单位
E．材料供应商
13．《施工合同文本》规定，对于在施工中发生不可抗力，( CE )发生的费用由承包人承担。
A．工程本身的损害B．发包人人员伤亡
C．造成承包人设备．机械的损坏及停工D．所需清理修复工作
E．承包人人员伤亡
14．施工合同按照计价方式的不同可以分为( CDE )等。
A．总承包合同B．分别承包合同C．固定价格合同
D．可调价格合同E．成本加酬金合同
15．在竣工验收和竣工结算中，承包人应当( ADE )。
A．申请验收B．组织验收C．提出修改意见
D．递交竣工结算报告E．移交工程
16．被宣布为废标的投标书包括（ABDE ）
A．投标书未按招标文件中规定封标B．逾期送达的标书
C．加盖法人或委托授权人印鉴的标书D．未按招标文件的内容好要求编写．内容不全或字迹无法辨认的标书 E 投标人不参加开标会议的标书17．必须进行招标的项目包括（CDE ）
A．私人投资的高级别墅B．外国老板投资的基础设施的项目
C．大型基础设施．公用事业等关系到社会公共利益．公众安全的项目
D．全部或部分使用国有资金投资或国家融资的项目
E．使用国际组织或外国政府贷款．援助资金的项目
18．不符合建设工程委托监理合同特征的有（CE ）
A．监理合同可以是个人B．监理合同的订立必须符合工程建设程序
C．监理合同的订立不需符合工程建设程序
D．委托监理合同标的是服务E．委托监理合同的标的物是产生新的物质
19．建设工程施工索赔按索赔目的可分为（DE ）
A．单项索赔B．总索赔C．明示索赔D．工期索赔E．费用索赔20．合同法律关系的构成要素有( ABC )
A．主体B．内容C．客体D．权利E．义务
四、简答题
1．施工目标控制的内容
答：进度控制、质量控制、安全控制、成本控制
2．施工项目经营管理的内容？
答：主要工作包括：选择适当的经营方式，寻找市场，承揽任务，投标，合同管理3．建筑市场运行机制构成？
答：价格机制、供求机制、风险机制、竞争机制
3．市场规则有哪些？
答：市场进入规则，市场竞争规则，市场交易规则
4．招标的形式
答：1) 公开招标（无竞争招标）
2）邀请招标（有限竞争招标）
3）议标（非竞争性招标或指定性招标）
4）两阶段招标（先评技术标后评商务标）
5．标底确定方法
答：1）单系数法
A=M x 招标人下浮率（M-施工预算价）
复合标底=A x Y%+B x (1-Y%) （B-平均报价，Y%-30~60%）2）双系数法
6．简述投标活动的一般程序
答：成立投标组织-投标初步决策-资格预审，购买标书-现场勘查，标前预备会-技术市场环境调查-编制施工组织设计-编制并审核施工图预算-投标最终决策-标书成稿-标书装订和封包-递交标书参加开标会议-接到中标通知书，签订合同
7．简述投标文件的编制一般要求
答：1）必须使用投标文件规定的表格格式；
2）有正本和副本，如不一致，以正本为准；
3）必须有法人单位公章；
4）投标文件有修改处需要由投标人签字证明并加盖个人章；
5）必须分为技术标和商务标，加封封条；
6）投标文件必须用不可擦去的墨水打印或书写；
7）保证金为合同总价百分比时候，开标保函不要太早，一方泄露己方报价；
8）文件打印整洁。
8．工程估价的依据有哪些
答：1）招标文件；
2）工程量清单计价规范、定额；
3）劳动力、材料价格信息；
4）地质报告、施工图；
5）施工规范、标准；
6）施工方案和施工进度计划；
7）现场勘测；
8）工程量清单。
9．按概预算方法编制的投标报价由哪几大部分费用组成
答：直接费、间接费、利润、税金
10．什么时候投标人应考虑低于成本报价？我国为什么要限制这种做法
答：1）竞争对手很多，投标人出于发展目的
2）投标人出现大量窝工，严重亏损，急需支撑
3）新市场领域，渴望打入
4）投标人垄断领域，其他对手强烈希望插足的。
我国限制这种做法是为了防止低价成本恶性竞争而导致工程品质下降和管理不到位引起的安全事故。
11．什么是经济法律关系：
答：是指法律规范在调整人民行为的过程中形成的权利与义务关系，有法律关系主体，法律关系客体，法律关系内容三个要素构成。
12．合同订立一般要经过哪几个程序？
答：合同订立一般经过要约和承诺两个必经的程序
要约—希望与他人订立合同的意思表示
承诺—在要约有效期限内，做出完全同意要约条款的意思表示。
13．合同的担保方式有哪几种？
答：担保的方式：保证、抵押、质押、定金、留置
14．什么是无效合同
答：无效合同是指带有欺诈胁迫，恶性串通，损害国家利益，损害社会公众利益，违反法律行政法规的强制性规定，都归为无效合同。
15．简述违约金与赔偿金的区别。
答：违约金：是指当事人的约定或者法律直接规定，一方当事人违约的，应向另一方支付的金钱。违约金的标的物是金钱，也可以是其他财产
赔偿金；合同当事人就其违约而给对方造成的损失给予补偿的一种方法。
16．合同争议的处理方式有哪几种?
答：处理方法有：和解、调解、仲裁、诉讼
17．合同履行保护方式有哪些？
答：1）抗辩权（同时履行抗辩权，异时履行抗辩权）（（后履行，不安履行））
2）保全措施包括代位权和撤销权。
18．发包人、承包人的一般义务是什么？
答：发包人的义务：土地征用拆迁；市政水电气介入工地；开通施工道路；地质勘测；办理施工许可证及其他证件；确定水准点和控制点；组织承包人和设计单位设计交底；协调地下管线和文物的保护工作；发包人的其他工作。
承包人的义务：完成施工图配套设计；提供进度表；向发包人提供办公场所；遵守环境安全卫生要求；对已完成工程实施保护；对地下管线和文物保护，其他有关规定。19．关于工程分包的规定有哪些？
答：1）承包人按专用条款的约定分包所承包的工程，并与分包商签订合同，未经发包人同意，不能将承包任何部分分包
2)承包人不得将其承包的全部工程转包给他人，也不得将其承包工程的全部工程肢解以后以分包的名义转包给他人。
3)工程分包不能解除承包人的任何责任和义务。
4）分包工程价款由承包人与分包单位结算。
提倡总承包，禁止将建筑工程肢解发包，禁止将其工程全部转包他人，禁止将承包的全部建筑工程肢解以后以分包的名义转包给他人；禁止发包人将其承包的工程再分包。20．建设工程施工合同示范文本中，主要控制性条款有哪些？
答：1）质量控制条款：质量检查与验收、材料设备控制、工程试车、竣工验收2）进度控制条款：进度计划、开工竣工、暂停施工、工期延误
3）造价控制条款：工程计量、工程款支付、价格调整、工程结算
4）管理性条款: 工程分包、工程变更、违约责任、施工索赔、争议处理。21．FIDIC中质量、进度和费用控制条款有哪些？
答：1) 质量控制：实施方式、样品、检查、检验、验收、补救措施
2）进度（工期）控制：开工、竣工时间、进度计划、竣工时间的延长、当局引起的延误、进展速度、拖期赔偿费、暂停工作及暂停的后果、持续的暂停与复工、缺陷通知期及其延长
3）费用控制（计量与支付）：计量与估价、合同价格与支付
22．工程发包承包模式有哪些？
答：平行发包、施工总承包、施工总承包管理
23．按计价方式分类的施工合同类型有哪些？
答：按计价方式分：总价合同、单价合同、成本补偿合同三类
24．施工合同签订的原则有哪些？
答：基本原则有：
1）符合承包人的基本目标；
2）尽可能使用标准的施工合同文本；
3）积极地争取自己的正当权益；
4）重视合同的法律性质；
5）重视合同的审查和风险分析。
25．简述风险转移的具体方法
答：具体有相互转移和向第三方转移风险。具体的措施有：
1）利用索赔制度，相互转移风险；
2）向第三方转移风险（担保制度，保险制度，向分包商转移风险）
26．风险分离和风险分散有什么不同？
答：风险分离：是指将各风险单位分离间隔，以避免发生连锁反应或互相牵连风险分散：与风险分离不一样，风险分离是对风险单位进行分离，而风险分散则是通过增加风险单位以减轻总体风险的压力，达到共同分摊集体风险的目的。
27．合同实施偏差处理的措施有哪些？
答：组织措施，技术措施，经济措施，合同措施
28．发生索赔的原因？
答：1）建筑过程难度和复杂度增大；
2）建筑业经济效益的影响；
3）项目及管理模式的变化；
4）发包人违约；
5）不可预见的因素；
6）国家政策、法规的变更；
7）合同的变更与合同的缺陷；
8）合同中止与解除。
29．索赔的分类有哪些？
答：按事件所处合同状态分类：正常施工索赔、工程停缓建索赔、解除合同索赔按索赔发生原因分类：发包人违约索赔，工程量增加索赔，加速施工索赔，解除合同索赔
按索赔的目的分类：工期延长索赔，费用索赔
按索赔的依据分类：合同内索赔，合同外索赔
按索赔有关当事人分类：承发包人之间的索赔，总承包与分包商索赔，承包人与供货商索赔，承包人与保险公司索赔
按索赔合同主从关系分类：工程承包合同索赔，从属合同的索赔
按索赔的处理方式分类：单项索赔，总索赔
按索赔的管理策略上的主动性分类：索赔，反索赔
30．简述索赔的程序
答：索赔意向通知——索赔报告提交——索赔报告评审——索赔谈判
五、案例分析题
案例1：
某大型工程，由于技术难度大，对施工单位的施工设备和同类工程施工经验要求高，而且对工期的要求也比较紧迫。建设单位在对有关单位和在建工程考察的基础上，仅邀请了3家国有一级施工企业参加投标，并预先与咨询单位和该3家施工单位共同研究确定了施工方案。业主要求投标单位将技术标和商务标分别装，订报送。经招标领导小组研究确定的评标规定如下：
（1）技术标共30分，其中施工方案10分（因已确定施工方案，各投标单位均得10分）、施工总工期10分、工程质量10分。满足业主总工期要求（36个月）者得4分，每提前1个月加1分，不满足者不得分；自报工程质量合格者得4分，自报工程质量优良者得6分（若实际工程质量未达到优良将扣罚合同价的2％），近三年内获鲁班工程奖每项加2分，获省优工程奖每项加1分。
（2）商务标共70分。报价不超过标底（35．500万元）的±5％者为有效标，超过者为废标。报价为标底的98％者得满分（70分），在此基础上，报价比标底每下降1％，扣1分，每上升1％，扣2分（计分按四舍五人取整）。
各投标单位的有关情况列于表1。
表1：各投标单位标书主要数据表
问题：
（1）该工程采用邀请招标方式且仅邀请3家施工单位投标，是否违反有关规定?为什么?
（2）请按综合得分最高者中标的原则确定中标单位。
（3）若改变该工程评标的有关规定，将技术标增加到40分，其中施工方案20分（各投标单位均得20分），商务标减少为60分，是否会影响评标结果?为什么?若影响，应由哪家施工单位中标？
分析要点：
本案例考核招标方式和评标方法的运用。要求熟悉邀请招标的运用条件及有关规定，并能根据给定的评标办法正确选择中标单位。本案例所规定的评标办法排除了主观因素，因而各投标单位的技术标和商务标的得分均为客观得分。但是，这种“客观得分”是在主观规定的评标方法的前提下得出的，实际上不是绝对客观的。因此，当各投标单位的得分较为接近时，需要慎重决策。
问题3实际上是考核对评标方法的理解和灵活运用。根据本案例给定的评标方法，
这样改变评标的规定并不影响各投标单位的得分，因而不会影响评标结果。若通过具体计算才得出结论，即使答案正确，也是不能令人满意的。
答案：
问题l：
答：不违反（或符合）有关规定。因为根据有关规定，对于技术复杂的工程，允许采用邀请招标方式，邀请参加投标的单位不得少于3家。
问题2：
解：
（1）计算各投标单位的技术标得分，见表1-2。
表2：各投标单位技术标得分表
（2）计算各投标单位的商务标得分，见表3。
表3：各投标单位商务标得分表
（3）计算各投标单位的综合得分，见表4。
表4：各投标单位综合得分表
因为B公司综合得分最高，故应选择B公司为中标单位。
问题3：
答：这样改变评标办法不会影响评标结果，因为各投标单位的技术标得分均增加10分（20-10），而商务标得分均减少10分（70-60），综合得分不变。
案例2：
某办公楼施工招标文件的合同条款中规定：预付款数额为合同价的30％，开工后三日内支付，上部结构工程完成一半时一次性全额扣回，工程款按季度支付。
某承包商通过资格预审后对该项目投标，经造价工程师估算，总价为9000万元，总工期为24个月，其中：基础工程估价为1200万元，工期为6个月；上部结构工程估价为4800万元，工期为12个月；装饰和安装工程估价为3000万元，工期为6个月。该承包商为了既不影响中标，又能在中标后取得较好的收益，决定采用不平衡报价法对造价工程师的原估价作适当调整，基础工程调整为1300万元，结构工程调整为5000万元，装饰和安装工程调整为2700万元。
另外，该承包商还考虑到，该工程虽然有预付款，但平时工程款按季度支付不利于资金周转，决定除按上述调整后的数额报价外，还建议业主将支付条件改为：预付款为合同价的5％，工程款按月支付，其余条款不变。该承包商将技术标和商务标分别封装，在封口处加盖本单位公章和法定代表人签字后，在投标截止日期前1天上午将投标文件报送业主。次日（即投标截止日当天）下午，在规定的开标时间前1小时，该承包商又递交了一份补充材料，其中声明将原报价降低4％。但是，招标单位的有关工作人员认为，一个承包商不得递交两份投标文件，因而拒收承包商的补充材料。开标会由市招标办的工作人员主持，市公证处有关人员到会，各投标单位代表均场。开标前，市公证处人员对各投标单位的资质进行审查，并对所有投标文件进行审查，确认所有投标文件均有效后，正式开标。主持人宣读投标单位名称、投标价格、投标工期和有关投标文件的重要说明。
问题：
（1）该承包商所运用的不平衡报价法是否恰当?为什么?
（2）除了不平衡报价法，该承包商还运用了哪些报价技巧?运用是否得当?
（3）从所介绍的背景资料来看，在该项目招标程序中存在哪些问题?请分别作简单说明。
答：
（1）恰当。因为该承包商是将属于前期工程的基础工程和主体结构工程的报价调高，而将属于后期工程的装饰和安装工程的报价调低，可以在施工的早期阶段收到较多的工程款，从而可以提高承包商所得工程款的现值；而且，这三类工程单价的调整幅度均在±1O％以内，属于合理范围。
（2）该承包商运用的投标技巧还有多方案报价法和突然降价法。多方案报价法运用恰当，因为承包商的报价既适用于原付款条件也适用于建议的付款条件；突然降价法也运用得当，原投标文件的递交时间比规定的投标截止时间仅提前1天多，这既是符合常理的，又为竞争对手调整、确定最终报价留有一定的时间，起到了迷惑竞争对手的作用。若提前时间太多，会引起竞争对手的怀疑，而在开标前1小时突然递交一份补充文
件，这时竞争对手已不可能再调整报价了。
（3）该项目招标程序中存在以下问题：
1）招标单位的有关工作人员不应拒收承包商的补充文件，因为承包商在投标截止时间之前所递交的任何正式书面文件都是有效文件，都是投标文件的有效组成部分，也就是说，补充文件与原投标文件共同构成一份投标文件，而不是两份相互独立的投标文件。
2）根据《中华人民共和国招标投标法》，应由招标人（招标单位）主持开标会，并宣读投标单位名称、投标价格等内容，而不应由市招投标办工作人员主持和宣读。
3）资格审查应在投标之前进行（背景资料说明了承包商已通过资格预审），公证处人员无权对承包商资格进行审查，其到场的作用在于确认开标的公正性和合法性（包括投标文件的合法性）。
案例3：
某工程项目施工采用了包工包全部材料的固定价格合同。工程招标文件参考资料中提供的用砂地点距工地4公里。但是开工后，检查该砂质量不符合要求，承包商只得从另一距工地20公里的供砂地点采购。而在一个关键工作面上又发生了几种原因造成的临时停工：
5月20日至5月26日承包商的施工设备出现了从未出现过的故障；
应于5月24日交给承包商的后续图纸直到6月10日才交给承包商；
6月7日至6月12日施工现场下了该季节罕见的特大暴雨，造成了6月11日至6月14日的该地区的供电全面中断。
问题：
（1）由于供砂距离的增大，必然引起费用的增加，承包商经过仔细认真计算后，在业主指令下达的第3天，向业主的监理工程师提交了将原用砂单价每吨提高5元人民币索赔要求。作为一名监理工程师你批准该索赔要求吗?为什么?
（2）由于几种情况的暂时停工，承包商在6月15日向业主的监理工程师提交延长工期25天，成本损失费人民币2万元／天（此费率已经监理工程师核准）和利润损失费人民币2千元／天的索赔要求，共计索赔款57．2万元。作为一名监理工程师你批准该索赔款额多少万元？
（3）索赔成立的条件是什么?
（4）若承包商对因业主原因造成窝工损失进行索赔时，要求设备窝工损失按台班计算，人工的窝工损失按工日计价是否合理?如不合理应怎样计算?
（5）你认为应该在业主给承包商工程进度款的支付中扣除竣工延期违约损失赔偿金吗？为什么?
分析要点：
对该案例的求解首先要弄清工程索赔的概念，施工进度拖延和费用增加的责任划分与处理原则，费用索赔的计算与审查方法。
答案：
问题l：
答：因砂场地点的变化提出的索赔不能被批准，原因是：
（1）承包商应对自己就招标文件的解释负责并考虑相关风险；
（2）承包商应对自己报价的正确性与完备性负责；
（3）材料供应的情况变化是一个有经验的承包商能够合理预见到的。
问题2：
答：可以批准的费用索赔额为32万元人民币。原因是：
（1）5月20日至5月26日出现的设备故障，属于承包商应承担的风险，不应考虑承包商的费用索赔要求。
（2）5月27日至6月9日是由于业主迟交图纸引起的，为业主应承担的风险，可以索赔，但不应考虑承包商的利润要求，索赔额为14天×2万／天＝28万元。
（3）6月10日至6月12日的特大暴雨属于双方共同的风险，不应考虑承包商的费用索赔要求。
（4）6月13日至6月14日的停电属于有经验的承包商无法预见的自然条件变化，为业主应承担的风险，可以索赔，但不应考虑承包商的利润要求，索赔额为2天×2万／天＝4万元。
问题3：
答：承包商的索赔要求成立必须同时具备如下四个条件：
（1）与合同相比较，已造成了实际的额外费用或工期损失；
（2）造成费用增加或工期损失的原因不是由于承包商的过失；
（3）按合同规定造成的费用增加或工期损失不是应由承包商承担的风险；
（4）承包商在事件发生后的规定时间内提出了索赔的书面意向通知。
问题4：
答：不合理。因窝工闲置的设备按折旧费或停滞台班费或租赁费计价，不包括运转费部分；人工费损失应考虑这部分工作的工人调做其他工作时工效降低的损失费用；一般用工日单价乘以一个测算的降效系数计算这一部分损失，而且只按成本费用计算，不包括利润。
问题5：
答：由上述事件引起的工程进度拖延不等于竣工工期的延误。原因是：如果不能通过施工方案的调整将延误的工期补回，将会造成工期延误，支付中要扣除拖期违约金；如果能够通过施工方案的调整将延误的工期补回，不会造成工期延误，不产生拖期违约金，支付中不扣。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
三角换元（一） 三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2?θ+cos2?θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题． x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则 |x|?|y|= cos θ2?tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(?∞,?3]，故题中所求 代数式的最小值为3． 例2 设 x,y 为实数，若2 x ?xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2?+θcos 2=1，考虑将题中2 x ?xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解． 解 题中等式可化为 22y -x ）（+2y 4 3=1, 进行三角换元，令 x=2y +cos θ,y=sin θ3 2, 其中θ∈[0,2π)，解得 x=31sin θ+cosθ,y=sin θ3 2,, 所以 x+2y= 35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),
其中sinφ=1421,cosφ=14 75． 因此，x+2y 的取值范围为[?3212,3 212]． 总结 (1)常用于三角换元的三角恒等式有 sin 2θ+cos 2θ=1, αcos 12?tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可． (3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围； 练习
直线定向 令狐采学 确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。 一、标准方向 1．真子午线方向 通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。真子午线方向可用天文测量方法测定。 2．磁子午线方向 磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。 3．坐标纵轴方向
在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。在同一投影带内，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。 二、方位角 测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。方位角取值范围是0?～360?。因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用Am表示）和坐标方位角（用α表示）。 三、三种方位角之间的关系 因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图????所示。过点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。
δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为： （????）； （????）； （????） 四、坐标方位角的推算 ．正、反坐标方位角 如图?? 所示，以A为起点、B为终点的直线AB的坐标方位角αΑB，称为直线AB的坐标方位角。而直线BA的坐标方位角αBA，称为直线AB的反坐标方位角。由图?? 中可以看出正、反坐标方位角间的关系为：
概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .
直线定向 确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。 一、标准方向 1．真子午线方向 通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。真子午线方向可用天文测量方法测定。 2．磁子午线方向 磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。 3．坐标纵轴方向 在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。在同一投影带内，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。 二、方位角 测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。方位角取值范围是0?～360?。因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用A m表示）和坐标方位角（用α表示）。 三、三种方位角之间的关系
因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图4-19所示。过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。 δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。同一直线的三种方位角之间的关系为： （4-14）；
（4-15）； （4-16） 四、坐标方位角的推算 1．正、反坐标方位角
排列组合典型例题 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2?θ+cos2?θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题． x=,y=tanθ,cos θ 2其中θ∈[0,π2)，则 |x|?|y|= ?tan θ=,cos θ2cos θsin θ-2表示点(0,2)与单位圆+=1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，2x 2y 如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(?∞,?3]，故题中所求 代数式的最小值为3． 例2 设 x,y 为实数，若?xy+=1，求x+2y 的取值范围．2x 2y 分析 联想到?+=1，考虑将题中?xy+=1变形，然θsin 2θcos 22x 2y 后用三角换元进行求解． 解 题中等式可化为 +=1,22y -x ）（2y 4 3进行三角换元，令 x= +cos θ,y=,2y sin θ32其中θ∈[0,2π)，解得 x=sinθ+cosθ,y=,,31sin θ3 2所以 x+2y= sinθ+cosθ=sin(θ+φ),35328
其中sinφ=,cosφ=．142114 75因此，x+2y 的取值范围为[?,]．32123212总结 (1)常用于三角换元的三角恒等式有 sin θ+cos θ=1, ?tan α=1,22αcos 122(2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可． (3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。
排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1 m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合 要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13 C C 1 4 A 3 4 C 1 3 然后排首位共有14 C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花
不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素， 同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5225 2 2 480A A A 种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈 节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55 A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456 A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
三角换元法 摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。 大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式，其中t 为变量，k 为非负常量。现对于此类问题归纳如下： 1．形如),(22x a x f y -=的形式，其中f 是x 和22x a -的代数函数。令)22,0(,sin ππ≤≤- >=t a t a x 此时，[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x 同理[]a a x ,-∈， 2．形如),(22a x x f y +=的形式，其中f 是x 和22x a +的代数函数。令),22,0(,tan ππ<<- >=t a t a x 此时，),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x ),(+∞-∞∈x 。 3．形如),(22a x x f y -=的形式，其中f 是x 和22a x -的代数函数。令),23,20,0(,sec πππ<≤< ≤>=t t a t a x 此时，),,[],(+∞?--∞∈a a x 或令t a x csc = ),20,02,0(π π ≤<<≤->t t a 其中),[],(+∞?--∞∈a a x 。 注：上面替换中应注意，t 的范围应满足： 1°根式中变量的取值要求。 2°二次根式的化简唯一。 以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下： 一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。 例1． 解方程：12 3512=-+x x x 解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设)20(,sec π ≤≤=t t x ，则方程变为
排列与组合的八大典型错误、 24种解题技巧 三大模型 一、知识点归纳 二、基本题型讲解 三、排列组合解题备忘录 1.分类讨论的思想 2.等价转化的思想 3.容斥原理与计数 4.模型构造思想 四、排列组合中的8大典型错误 1．没有理解两个基本原理出错 2.判断不出是排列还是组合出错 3.重复计算出错 4.遗漏计算出错 5.忽视题设条件出错 6.未考虑特殊情况出错 7．题意的理解偏差出错 8.解题策略的选择不当出错 五、排列组合24种解题技巧 1．排序问题 相邻问题捆绑法 相离问题插空排 定序问题缩倍法（插空法） 定位问题优先法 多排问题单排法 圆排问题单排法 可重复的排列求幂法 全错位排列问题公式法 2．分组分配问题 平均分堆问题去除重复法（平均分配问题） 相同物品分配的隔板法 全员分配问题分组法 有序分配问题逐分法 3．排列组合中的解题技巧 至多至少间接法 染色问题合并单元格法 交叉问题容斥原理法 构造递推数列法 六．排列组合中的基本模型 分组模型（分堆模型） 错排模型 染色问题
七．排列组合问题经典题型与通用方法 （一）排序问题 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为5 5A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是5 2 563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有1 3A 种，4名同学在其余4个位置上有4 4A 种方法；所以共有1 4 3472A A =种。 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种 （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 66720A =种，选C . （2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2 4A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有1 4A 种，其余5个元素任排5个位置上有5 5A 种，故共有1 2 5 4455760A A A =种排法. 16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：
排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Anm(n为下标，m为上标)） Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所 有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类， 又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取， 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
排列组合与概率经典教案 两个基本原理： 1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +???+++=321种不同的方法. 2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ???????=321种不同的方法. 特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。 三组基本概念： 1．排列 1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素 中取出m 个元素的排列数。通常用m n A 表示。 特别地，当n m =时，称为全排列，当n m π时，称为选排列。 2． 组合 1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。 3． 事件与概率 1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2）一些特殊事件： （1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。 （2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。 （3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件A 的对立事件通常记作 A 。特别地，有 B A +、B A ?的对立事件分别是B A ?、B A +，即B A B A ?=+、B A B A +=?。 （4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。 3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。 一些重要公式： 1．排列数公式 ： )! (! )1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-???--= 这里*,N m n ∈,且n m ≤。
三角换元（一） 三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2?θ+cos2?θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题． 例1 已知实数x,y 满足2x ?42y =4，则|x|?|y|的最小值是______． 分析 题中代数式2x ?42y =4是平方差为常数的形式，可以考虑利用三角代换处理． 解 题中代数式可变形为22 x ）（?2y =1，令 x=cos θ 2,y=tan θ, 其中θ∈[0,π2)，则 |x|?|y|= cos θ2?tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(?∞,?3]，故题中所求 代数式的最小值为3． 例2 设 x,y 为实数，若2x ?xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2?+θcos 2=1，考虑将题中2x ?xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解． 解 题中等式可化为 22y -x ）（+2y 4 3=1, 进行三角换元，令 x=2y +cos θ,y=sin θ3 2, 其中θ∈[0,2π)，解得 x=31sin θ+cos θ,y=sin θ3 2,, 所以 x+2y= 35sin θ+cos θ=328sin(θ+φ),
其中sin φ=1421,cos φ=14 75． 因此，x+2y 的取值范围为[?3212,3 212]． 总结 (1)常用于三角换元的三角恒等式有 sin 2θ+cos 2θ=1, αcos 12?tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可． (3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
八年级数学巧用换元法解题 1．精选妙题： 计算 ()()()()()()()()()()()() 222222y x z x z y x y x z y z x z y x y z x y z y z x y z x x z y ------+++-+-+-+-+-+-． 2．常规策略： 一般可用全部通分解． 3．巧妙解法： 设x y a -=，y z b -=，z x c -=． 原式()()()()()()ac ab bc a b b c b c c a c a a b =--- ------ ()()() ()()() ac c a ab a b bc b c a b b c c a -+-+-=- --- ()()()()()() 1a b b c c a a b b c c a ---= =---． 4．画龙点睛： 通过观察发现，()()2x y z y z z x +-=---，()()2x z y x y y z +-=---，()()2y z x z x x y +-=---，从而启发我们可用换元法． 5．相关链接： ⑴计算 ()()3 2 23233223231 231 x y x y y x x y x y x y ----- +--+--． ⑵求证： ()()()()()()222 b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a ---++=++ ---------． ⑶已知3x y z a ++=，且0a ≠，x 、y 、z 不全相等．求 ()()()()()()()()() 222 x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值． ⑷化简() 2 2 2 1114111a b ab a b a b ab ?? +-- ???-?? -- ???． ⑸已知222199719992001x y z ==，0x >、0y >、0z >且111 1x y z ++=， 八年级数学巧用换元法解题