判定平行四边形的五种常用方法
名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．
利用两组对边分别平行判定平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．
(第1题)
利用两组对边分别相等判定平行四边形
2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
(第2题)
利用一组对边平行且相等判定平行四边形
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形．
(第3题)
利用两组对角分别相等判定平行四边形
4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
(第4题)
利用对角线互相平分判定平行四边形
5．【中考·哈尔滨】如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
(第5题)
答案
1． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 平行且等于BF .
∴四边形BFDE 为平行四边形．
∴BE ∥DF .同理，AF ∥CE .
∴四边形FMEN 为平行四边形．
2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形，
∴BA ＝BD ＝AD ，BC ＝BE ，AF ＝AC ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°.
∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ，
即∠ABC ＝∠DBE .
∴△ABC ≌△DBE .∴AF ＝AC ＝DE .
同理，可证△ABC ≌△FEC ，
∴AD ＝AB ＝EF .
∴四边形ADEF 是平行四边形．
3．证明：过A 作AM ⊥DF 于M .
∵∠ACB ＝90°，ED ⊥BC ，
∴DF ∥AC .∴AM ＝DC .
在Rt △AMF 和Rt △CDE 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧AM ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △AMF ≌Rt △CDE .
∴∠F ＝∠CED .∴AF ∥CE .
又∵AF ＝CE ，
∴四边形ACEF 是平行四边形．
4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在▱ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C .
∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12
∠ADC .∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF .∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED .∴四边形BFDE 是平行四边形．
5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO .
∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC .
在△OAE 与△OCF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，
∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF .
同理OG ＝OH ，
∴四边形EGFH 是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有▱GBCH ，▱ABFE ，▱EFCD ，▱EGFH .。