采用Newton迭代算法求解： 1） 给定初始值(u0, v0)，令k=0； 2） 将上式在(uk, vk)处作线性展开： 通常上式左边的雅可比矩阵是非奇异的，所以有唯一解。 3） 解上述线性方程组，得 ； 4） 如果 转6）；否则转5）； 5） 令
转4）； 6） 结束。 将Newton法所求得的解(uk+1,vk+1)代入曲面方程，即得交点Q(uk+1,vk+1)。 （作者单位：青海省循化县职业技术学校）
曲面参数方程的求解
发表时间：2009-11-07T13:01:53.890摘要】在空间解析几何中,空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。空间曲面可由方程来表示，反 过来也成立。
【关键词】曲面参数；方程求解 在空间解析几何中,空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过 来也成立。为此，我们给出如下定义： 若曲面与三元方程 (1) 有下述关系：曲面上任一点的坐标均满足方程(1)；不在曲面上的点的 坐标都不满足方程(1)。 那么，方程(1)称作曲面的方程，而曲面称作方程(1)的图形。 1.球面 设球心为 ，半径为r,则其方程为： 将光线的参数方程方程代入上式，经整理得到： 其中， 如果b2-4c<0，则光线与球无交。 如果b2-4c=0，这时t=－b/2，如果 ,切点 即为光线与球的交点,否则交点不在光线上。 如果b2-4c>0，这时 ，若有t1或t2<0，则说明相应的交点不在光线上，交点无效。取 ，则光线与球的交点为R(t0)，交点处的法向量为 ，这是一个单位向量。 用上述代数法计算光线与球的交点和法向量总共需要17次加减运算、17次乘法运算、1次开方运算和3次比较操作。如果采用几何法计 算光线与球的交点和法向量，可以适当减少计算量，这里从略，建议读者自己练习之。 2.参数曲面 设参数曲面的参数方程为: Q(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v) )。 假设光线的单位方向矢量d=(dx, dy, dz)T与光线起点的位置矢量V=(Vx, Vy, Vz)T不平行。这里，我们将用下面两个平面的交线来表示光 线： 其中， P＝(x,y,z)T为平面上的一点 。如果d平行于V，则用不平行于d的某一坐标轴矢量取代上式中的V。 光线与参数曲面的交是下列非线性方程组的解：