若选取线性谐振子平衡位置为坐标原点，并选取 其为势能的零点，则线性谐振子的势能表示为：
V (x) 1 Kx2 1 m 2x2
22
m是粒子的质量，K是 谐振子的弹性系数。
K
m
对经典谐振子 它是角频率。
线性谐振子的定态薛定谔方程为：
(
2 2m
d2 dx2
1 2
m 2 x2 ) (x)
E (x)
它是变系数二阶常微分方程，可解。
2 2
* 可严格证明满足束缚边界条件的级数解为
n (x)
2n n!
e 2x2 / 2 H n ( x)
Hn ( ) 称为厄米多项式。它的前几个为, 令 x
H 0 ( ) 1 H1( ) 2
普遍表达式
H 2 ( ) 4 2 2 H 3 ( ) 8 3 12
H n ( ) (1)n e 2
径向几率幅；
横向几率幅
方向的几率幅
19
根据波函数应满足标准化条件得出
是角动量沿Z轴分量的本征值；
球谐函数
是
它仅是 的函数。
的共同本征函数
是角动量模方 的本征值，称 为角量子数
由束缚态的边值条件得出径向方程的本征值
为主量子数或称能量量子数。20
满足标准条件（有限）的径向波函数为：
第一玻尔轨道半径。
* 厄米算符的本征值必为实数。 * 厄米算符的平均值必为实数。
* 厄米算符的属于不同本征值的本征函数
彼此正交。
* 当出现简并时，可以证明：总可以适当
地线性组合简并态，使之彼此正交。
13
第三章 原子、分子、固体
1914年，夫兰克（J.Franck)和赫兹（G.Hertz) 用电子与稀薄气体原子碰撞的方法，测量原子 的激发电势和电离电势，揭示出原子有不连续 的能级存在。
实
变成固体，具有显著的零点能效应。
5
0
n0
x
1
n 1
线 性
x
谐
振 子
2
波
n2
函
数
x
0 2
n0
线 性
谐
x振
1 2
子 位
n 1
置
几
x率 密
2 2
度
n2
x
6
在原点速度最大，停留时间短，粒子出现的 几率小；在两端速度为零，出现的几率最大。 虚线是经典结果。
2 11
n 11
x
线性谐振子 n =11 时的几率密度分布
称
为拉盖尔函数，
当
时趋于零。
可查阅数学手册，例如：
21
对于给定的 ，
，
因此，氢原子的能级是简并的，简并度为：
对应主量子数 ，的能级 可有 个本征态 与之对应。
是算符
的共同的本征函数，它们都有确定的本征值。这些 力学量都是守恒量，它们彼此对易，这组本征函数 构成完全集。
22
主量子数 n
Enl 6 5
-0.85eV 4 -1.81eV 3
-3.39eV 2
简并度 = n2
布喇25开5系s 5p 5d 5f 5g 帕邢系 16 4s 4p 4d 4f
9 3s 3p 3d
巴耳末系 4 2s 2p
-13.6eV 1
赖曼系
1 1s
氢原子能级图
23
8
习题2-3题 一维谐振子的势能 基态波函数 求：1 归一化系数；2 基态能； 3 求坐标 的均方差；4 用不确定关系求基态能；
解：
9
第二、三项相消
10
力学量测量值的偏差： 由不确定关系：
11
由不确定关系证明了一维谐振子的基态能：
12
• 力学量算符必须是线性厄米算符
线性厄米算符的性质：
厄米算符
1922年，史特恩（O.Stern) 和盖拉赫 （W.Gerlach)的实验又揭示了角动量 取向的量子化。
量子力学能够给出原子系统中电子状态 的描述并且自然地得出量子化的结果。 本章以氢原子为例说明之。
14
§1 量子力学对氢原子的描述 • 氢原子的定态薛定谔方程 氢原子中电子绕原子核的运动化为一个以折合
在球坐标系下：
径向动能 离心势能 库仑势能
用分离变量求解，令：
代入薛定谔方程得出它们应满足的本征值方程
17
代入薛定谔方程得出它们应满足的本征值方程：
18
• 能量、角动量模方及角动量在Z轴上 分量的本征方程、本征值及其量子数。
对于给定的 ，
，在原子
物理中用英文字母 s ,p ,d ,f ,g ,…代表其值。
dn
d n
e 2
4
* 能量本征值和零点能
En
(n
1 2
)
0
(n
1 2
)h
0
n 0,1,2,
线性谐振子的能级只能取分立值，能级间隔相等
En1 En
线性谐振子基态能：
E0
1
2
光被晶体散射的实验，证明在趋于绝对零度时，散射
实
光的强度趋于一确定值。说明原子有零点振动存在。
验
事
常压下，温度趋于零度附近，液态氦也不会
7
随量子数n增大，量子谐振子的几率密度迅速
震荡，其平均值与经典结果趋于符合。相似性 逐渐增大。在原点速度最大，停留时间短，粒 子出现的几率小；在两端速度为零，出现的几 率最大。 * 线性谐振子波函数
n (x) n (x)
可见当n为偶数时，称线性谐振子处于偶宇称。
n (x) n (x)
可见当n为奇数时，称线性谐振子处于奇宇称。
提纲
• 一维谐振子 * 能量本征值和零点能 * 线性谐振子波函数 习题2-3题 一维谐振子的势能
• 力学量算符必须是线性厄米算符
第三章 原子、分子、固体
§1 量子力学对氢原子的描述 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 能量、角动量模方及角动量在Z轴 上分量的本征值及其量子数。
Байду номын сангаас
作业 2-7 1
• 一维谐振子
2
根据波函数的 (x 渐)近行0为,可取
试探解
(x) Ae x2
此法可求基态解
d ( x) 2x ( x)
dx d 2 ( x) 2A(1 2x 2 )ex2 2 (1 2x 2 ) ( x) dx 2
代入原方程得
2 (
2m
d2 dx 2
1 m 2 x 2 ) ( x)
2
E ( x)
质量 运动的单体问题。M、m 分别是核及电
子的质量。 Mm
M m
哈密顿算符： 其定态薛定谔方程为：
15
在球坐标系下：
x r sin cos , y r sin sin ,
z r cos ,
角动量平方算符
z
Lˆ2
2
s in
(sin
)
Lˆ z
sin 2
角动量Z分量平方算符
y
x
16
2 (1 2x 2 ) ( x) 1 m 2 x 2 ( x) E ( x)
m
2
为使方程成立，则x 相同幂次的项应该相等，得
2
E m
22 2 1 m 2 0
m
2
3
解得基态解 22 2 1 m 2 0
m2
1 m0
2
2 E
E0
1 2
0
1 2
h 0
m 1 2 x2 0 ( x) Ae 2