理得
∫+∫=∫
(σε
2)(1)(2)(1)(2)(1)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
σij=λεδ+2Gε
kkij
ij
()
∫=∫+
σ(ελεδεε
2)(1)(2)(2)(1)
VijijdV2GdV
Vkkijijij
()
λε(2)ε(1)ε(2)ε(1)
∫+
=
Vkkss2GijijdV
σ(ελεδεε
1)(2)(1)(1)(2)
()
∫=∫+
VijijdV2GdV
Vkkijijij
=()
∫+
λε1)((1)2
(ε2)εε()
Vkkss2GijijdV
相
等
∫+∫=∫
(σε
1)(2)(1)(2)(1)(2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫+∫=∫
(2)(1)(2)(1)σ(2)ε(1)
iuuijijii
σ=取真实的应力作为静力可能的应力
isjσ
ij
∫+∫=∫
Fkddσεd
biuVfuSV
sksk isiiijij
VSV
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nudS
Sijji
u
=
∫+∫+∫=∫
VFbiuidVfudSnudVdV
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫=∫
σ(1)ε(2)σ(2)ε(1)
VijijdVdV
Vijij
∫(+∫
1)(2)(1)(2)
FudVfudS
VbiSsi
ii
∫(+∫
=2(1)
FudVfu
)(1)(2)
Vbiii
Ssi
dS
这就是贝蒂互换定理（功的互等定理）：作用在弹性体上
第一状态的外力在第二状态位移上所作的功，等于第二状态的
u
indSudV
kσkσ
VSijjiij
,j
=
∫+∫
skk
fsiudSFudV
ibii
SV
这就证明了弹性体的虚功原理。
需要指出的是
¾在小变形的前提下，这个原理适用于任何材料。
¾上面从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界
条件出发，证明了虚功原理的成立，反之，也可利用虚功原理
推导出平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条
极值（或驻值）问题又进而变成函数的极值（或驻值）问
题。从而最后把问题归结为求解线性方程组。是有限元等数
值计算方法和半解析法的理论基础。
§9-1弹性体的虚功原理
满足
σ+=0
⎧F
⎪
ij,jbi
⎨
=σ
⎪fn
⎩
siijj
（在体内）
（在已知应力边界Sσ上）
σ
的应力分量，称为静力可能的应力。静力可能的应力未必
ij
加适当的约束，使梁不能产生整体的刚性位移，或者作用适
当的剪力和弯矩，
使梁保持平衡。
现在，利用最小
势能原理推导用
梁的挠度表示的
平衡微分方程和
应力边界条件。
采用材料力学的简化模型
根据平截面假设，梁
的任一横截面x上与中性
层相距为z的点的位移为
dw
()
w==−
wx,uz
dx
其中w(x)为梁的轴线的挠度。由几何方程，有
是真实的应力，因为真实的应力在体内还须满足以应力表示的
S应变协调方程，而对应的位移还须满足上的位移边界条
u
件。但反之，真实的应力必然是静力可能的应力。为了区别真
σs
实的应力，用表示静力可能的应力。
ij
⎧1
满足()
ε=+
u
⎪u
iji,jj,i
⎨2
⎪
uu
=
⎩
ii
（在体内）
S
（在已知位移边界上）
u
u
的位移分量，称为几何可能的位移。几何可能的位移未必
移过程中外力保持不变，并注意到变分和积分两种运算可交换
次序，于是上式又可写为
δ
⎛∫−∫−∫
⎞
⎜
vVFudVfudS
d⎟=
⎝Vbii
ε
Ssii⎠
V
σ
0
令=∫−∫−∫
EPvdVFudVfudS
εVbiiSsii
V
σ
δ
E
P
=
0
δ
E
P
=
0
E
称为总势能，它是应变分量和位移分量
P
的泛函。因应变分量能通过几何方程用位移表
σσε
SsiiSijjiVijij
σu
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nu
Sijji
ubiδuidVfδudSσδεdV
SsiiVijij
σ
上式称为位移变分方程，又称虚位移方程。它表示外力在虚位
移上作的虚功，等于弹性体的真实内力在相应虚位移上作的虚
位移使总势能取最小值。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移
表示的应力边界条件。
§9-4最小势能原理的应用
对于一些按实际情况简化了的弹性力学问题，可以通过最
小势能原理导出其必须适合的微分方程和边界条件。
例图示为一直梁，其横截面有一铅直的对称轴，分布
载荷q(x)就作用在包含该轴的铅直平面内。在梁两端上，施
对应的应变上所作的功。
下面证明上述虚功原理
1σσσ
11
σ=+=+
sε
kskksksk
iju,u,u,u,
ijijijjiijijjiji
222
=σ=−
skks
ijuuu,
,σskσ
()
ijijiiijj
,j
()∫
∫=∫−
σεσ,σ
ijijiiijj
skskks
ijdVudVu,dV
VV
Vj
=
∫−∫
ss
件。其步骤与上述相反。
k
u
σs
¾虚功原理式中的静力可能应力和几何可能位移及其
i
ij
εk
对应的应变，可以是同一弹性体的两种不同的受力状态和
ij
变形状态，二者彼此独立而无任何的关系。但当静力可能应
σεk
s
力和几何可能应变服从物理方程时，为真实的应力、
ijij
σ=
isjσ
εikj=ε
u=
k
iu应变和位移，即，，。此时，虚
第九章
弹性力学的能量原理
§9-1弹性体的虚功原理
§9-2贝蒂互换定理
§9-3位移变分方程·最小势能原理
§9-4最小势能原理的应用
§9-5基于最小势能原理的近似计算方法
§9-6应力变分方程·最小余能原理
能量法，是要把弹性力学基本方程的定解问题，变为求
泛函的极值（或驻值）问题。在求问题的近似解时，泛函的
现在把第一状态的应力取为静力可能的应力，而把第二状
态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原理
得
∫+∫=∫
(1)2)σ(1)ε
(2)(1)((2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
同理，把第二状态的应力取为静力可能的应力，而把第一
状态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原
ε
∂
u
x==−
z
∂
x
2
dw
2
dx
再由梁的纵向纤维间无挤压的假设，可认为梁处于单向应力状
态，于是应变能密度为
v
ε
=
1
2
σ
1
xεε
=E
E
x
2
2
x
=
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
vε
=
将此对全梁积分，得梁的总应变能为
⎡
1
L
∫∫∫∫∫∫
vdxdydz
=⎢
ε
2
⎢
0R
⎣
2
⎛⎞
2
1dw
L
∫⎟
⎜
EId
yx
⎜
2
2dx
0⎝⎠
V
ε
=
=
z
⎤
2
⎛⎞
2
dw
⎜⎟⎥
2ddd
yzx
⎜⎟
2
dx⎥
⎝⎠
⎦
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
这里R为梁横截面组成的区域，Iy为横截面对中性轴y的惯
性矩，即
∫∫