西安电子科技大学 ——数学与统计学院
冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
2014秋季学期
Introduction to Stochastic Process
令 Y1 = Wt1 ,Y2 = Wt2 −Wt1 ,,Yn = Wtn −Wtn−1
)2
(t k
−t
k −1
)
n
k=2,,n
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Introduction to Stochastic Process
例2.3.2 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
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定义2.2.7 称实随机过程W={Wt，t≥0}是标准布朗运动, 如果
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补例1 设 W={Wt,t≥0}是标准布朗运动.
验证 W是一个正态过程.
证明 由定义，对任意的n≥1,及任意的
0 ≤ t1 < t2 < < tn
Wt 1,Wt2 −Wt1 ,,Wt n −Wt n−1 相互独立且
Wtk −Wtk−1服 从 正 态 分 布 N(0,tk -tk−1)，
(1) W0 = 0
(2) 对任意0 ≤ s < t,Wt −Ws ~ N (0,t − s)
(3) W 具有独立增量性．
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注意到有Wt1 N(0,t1)
一维分布函数 F(t1; x ) = P(Wt1 ≤x )
二维分布函数为
x2
∫ = 1
x
-
e 2t1dx
2πt -∞
1
F(t 1,t 2 ; x1, x2 ) = P(Wt1 ≤x1, Wt2 ≤x2 )
= P(Wt1 ≤x1, Wt1 + (Wt2 − Wt1 ) ≤x 2 )
又由于
1 1 1
(Wt 1,Wt 2 ,,Wt n ) = (Wt 1,Wt2 −Wt1 ,,Wtn −Wtn−1 ) ⋅0 Nhomakorabea0
1 0
1 1
0
0
1
所以 (Wt 1,Wt2 ,,Wtn ) 是n维正态变量.
所以W是正态过程.
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主要内容
布朗运动及其定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程 本章作业：1、2、3、6、8
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所以F(t 1,t 2 ; x1, x2 ) = P(ξ ≤x1,ξ +η ≤x2 )
∫ =
x1 −∞
P(η
≤
x
2
-y
,ξ
∈
dy
)
∫ =
x1 −∞
P(η
≤
x
2
-y
)P（ξ
∈
dy
)
∫ ∫ =
x1 −∞
x2− −∞
y
ϕt
2
−t 1
(
z
)dzϕt1
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ϕ (u ,u ,...,u ) t1,t2,...,tn 1 2
=
n
φY1 (u1 + + un )φY2 (u2 + + un ) ⋅⋅φYn (un )
注意到有
φY1
(u1
+ + un
)
= e −
1 2
(u1
++un
)2 t1
φ u u e ( + + ) = , Yk k
−
1( 2
uk
++un
(
y
)dy
其中ϕt1 ( y )为N(0,t1 )分布的密度函数， ϕt2 −t1 (z )为N(0,t2 -t1 )分布的密度函数。
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例2.3.5(1) 计算标准布朗运动的有限维特征函数
提示：利用过程的独立增量性
解 对任意n ≥ 1及0 ≤ t1 < < tn , n维随机变量的
(Wt1 ,Wt2 ,,Wtn ) 的特征函数为
ϕt1,t2,...,tn (u1,u2,...,un ) = E [e j(Wt1u1++Wtnun ) ]
令ξ = Wt1 , η = Wt2 − Wt1 ,则ξ服从N(0,t 1 )分布，η服从N(0,t 2 −t 1 )分布
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布朗运动
自然现象 —— 物理解释 —— 数学定义 Brown —— Einstein —— Wiener 1827 年 —— 1905 —— 1918年以后
布朗运动及其推广在经济、工程、管理及数理统计等 领域有广泛应用。
所以
（Wt 1,Wt2 −Wt1 ,,Wtn W − ） tn−1 是n维正态变量.
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