圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
10.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.11.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 拓展：过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向，即斜率为定值。
14.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.15.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=双曲线小结论1.（1）与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程为()2222221,0,0,0x y a b a bλλλλλ-=≠->+>-+ （2）与22221x y a b-=有相同焦点的椭圆方程为：()2222221,0,0x y a b a bλλλλλ+=≠+>->+-（3）与22221x y a b+=有相同焦点的双曲线方程为：()2222221,0,0,0x y a b a bλλλλλ-=≠->->-- （4）与22221x y a b-=有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在x 轴上时：()2222,0,1x y a b λλλ-=>≠②焦点在y 轴上时：()2222,0y x a bλλ-=>（5）与22221x y a b-=有相同的渐近线方程为：()2222,0,1x y a b λλλ-=≠≠；2.（中点弦结论）直线y kx m =+与椭圆22221x y a b+=相交于()()1122,,,A x y B x y ，其中点(),P x y 为线段AB 的中点，则22AB OPb K K a⋅=，若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+若双曲线的焦点在y 轴上时，22AB OP a K K b⋅=。
3.（焦点三角形结论）设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2). 122tan 2PF F b S θ∆=4.AB 是双曲线22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=，即2020AB b x K a y =。
5. 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=6.（切线结论） 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =；（2）过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 7.（切点弦结论）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.8. 双曲线的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.9.过双曲线上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-（常数）.拓展：过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率之和为定值的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向，即斜率为定值。
10. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 22,11.双曲线焦点到渐近线的距离总是b .顶点到渐近线的距离为ab c12.双曲线任意一点到两渐近线的距离之积为定值222a b c23. 若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==, ,AB 交在同支时,2112am n b +=, AB 交在两支时,2112am n b-= (设m n <)抛物线小结论1抛物线的通径长为2P ，弦的端点坐标为,2P A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭和,2P B P ⎛⎫⎪⎝⎭，设准线与x 轴的交点为,02P E ⎛⎫-⎪⎝⎭，则1,1,0AE BE AE BE K K K K ==-+=，1AE BE K K ⋅=-， 2.设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则（1）.221212,;4p x x y y p ==- 234OA OB p ⋅=-；（2）12,21cos 21cos p p p pAF x BF x θθ=+==+=-+ （3）1222;sin pAB x x p θ=++=（4）112||||FA FB P+=； （5）211sin 222sin AOBF p S OA OB AOB OF h θ∆=∠=⋅⋅=； （6）AO 的延长线与准线相交于点C ，则CB x 轴；若经过点B 向准线作垂线，交准线于点C ，则,,A O C 三点共线；（7）过点,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,D C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，则CF DF ⊥。
（8）以AB 为直径的圆与准线相切，以()AF BF 或为直径的圆与y 轴相切； （9）焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；（10）如图所示，以,A B 两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M ，则有：（1）M 点必在准线上；（2）设线段AB 的中点为N ，则//MN x 轴，即12M 2y y y +=；（3）MF AB ⊥ 3.（切线结论）以A 为切点的切线斜率为1py ，切线方程为()11y y p x x =+（切点弦结论）过A 作抛物线的两条切线，切点为A,B,则切点弦AB 的直线方程为()11y y p x x =+4.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，定点M ()(),00m m ≠，直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，1122(,)(,)A x y B x y 、，则有21212,2x x m y y pm ==- ； 5.（中点弦结论）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，且直线AB 不垂直于x 轴，则有：()122AB p p K y AB y y y ==+中中为线段中点纵坐标 6.抛物线y 2=2px(p>0)内接直角三角形OAB 的性质： ①； ②恒过定点；③中点轨迹方程：；④，则轨迹方程为：；⑤.7.抛物线y 2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则： ①当时，顶点到点A 距离最小，最小值为；②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为.8. 抛物线y 2=2px(p>0)与直线y kx b =+相交于()()1122,,,A x y B x y 且该直线与y 轴交于点()30,C y ，则有123111y y y +=2212214,4P y y P x x -==AB l )0,2(p B A ,)2(2p x p y -=AB OM ⊥M 222)(p y p x =+-2min 4)(p S AOB =∆)0,(a A p a ≤<0a p a >x 22p ap -。