2017专升本 高等数学（二）（工程管理专业）一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 211lim1x x x →-=-（）C ()()()2111111lim lim lim 1211x x x x x x x x x →→→+--==+=--.2. 设函数()f x 在1x =处可导，且()12f '=，则()()11limx f x f x→--=（）B. 12-C.12 A ()()()()()001111limlim 12x x f x f f x f f x x→→----'=-=-=--.3. 设函数()cos f x x =,则π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭=（）12A 因为()cos f x x =,()sin f x x '=-,所以πsin 122f π⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.4. 设函数()f x 在区间[],a b 连续且不恒为零，则下列各式中不恒为常数的是（）A.()f aB.()d baf x x ⎰C. ()lim x b f x +→ D.()dtxaf t ⎰D 设()f x 在[],a b 上的原函数为()F x .A 项，()0f a '=⎡⎤⎣⎦；B 项，()()()d 0b a f x x F b F a ''⎡⎤=-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰；C 项，()()lim 0x b f x F b +→''⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦；D 项，()()dt x a f t f x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰.故A 、B 、C 项恒为常数，D 项不恒为常数.5.2d x x =⎰（）A. 33x C + B. 3x C +C. 33x C +D. 2x C +C 2d x x =⎰33x C +.6. 设函数()f x 在区间[],a b 连续，且()()()d d u uaaI u f x x f t t =-⎰⎰，,a u b <<则()I u （） A.恒大于零 B.恒小于零 C.恒等于零 D.可正，可负C 因定积分与积分变量所用字母无关，故()()()()()()d d d d d 0uuuaaaaauaI u f x x f t t f x x f x x f x x =-=+==⎰⎰⎰⎰⎰.7. 设函数()ln z x y =+,则()1,1z x∂=∂（）.B. 12B 因为()ln z x y =+,1z x x y ∂=∂+,所以()1,112z x∂=∂. 8. 设函数33z x y =+，则zy∂∂=（）. A. 23x B. 2233x y +C. 44yD. 23yD 因为33z x y =+,所以zy∂∂=23y . 9. 设函数z=xe y，则∂2z∂x ∂y =（）. A. e x B ．e y C ．xe y D ．ye xB 因为z=xe y，则∂z∂x =e y, ∂2z∂x ∂y =e y .10. 设事件A ,B 相互独立，A ,B 发生的概率分别为，，则A ,B 都不发生的概率为（）.B 事件A ,B 相互独立，则A ,B 也相互独立，故P(A B )=P(A )P(B )=×=. 二、填空题（11～20小题，每小题4分，共40分) 11.函数()51f x x =-的间断点为x =________.1 ()f x 在x =1处无定义，故()f x 在x =1处不连续，则x =1是函数()f x 的间断点.12.设函数f (x )={lnx,x ≥1，a −x,x <1在1x =处连续，则a =________.1 ()()11lim lim 1x x f x a x a --→→=-=-,因为函数()f x 在1x =处连续，故()()1lim 1ln10x f x f -→===,即a -1=0,故a =1.13. 0sin 2lim 3x xx→=________.23 00sin 22cos 2lim lim 33x x x x x →→== 23.14. 当x →0时，()f x 与sin 2x 是等价无穷小量，则()0lim sin 2x f x x→=________.1 由等价无穷小量定义知，()0lim1sin 2x f x x →=.15. 设函数sin y x =,则y '''=________.cos x-因为sin y x =，故cos y x '=,sin y x ''=-,cos y x '''=-.16.设曲线y=a x 2+2x 在点（1，a+2）处的切线与直线y=4x 平行，则a=________.1 因为该切线与直线y=4x 平行，故切线的斜率k=4,而曲线斜率y ′(1)=2a+2,故2a+2=4,即a=1. 17. 22e d x x x =⎰________.2e x C + 22222e d e d e x x x x x x C ==+⎰⎰.18.πsin 20e cos d x x x =⎰________.e-1 ()πππsin sin sin 222e cos d ed sin exxx x x x ===⎰⎰ =e-1.19.21d 1x x+∞=+⎰________.π2220011πd lim d limarctan limarctan 0112a a a a a x x x a x x +∞→∞→∞→∞====++⎰⎰.20. 设函数e x z y =+,则d z =________.e d d x x y +d d d z zz x y x y∂∂=+=∂∂e d d x x y +. 三、解答题（21～28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)21.(本题满分8分) 计算()20lim 1xx x →+.解: ()()2212lim 1lim e xx x x x x →→⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦＝１＋. 22.(本题满分8分)设函数y=sin x 2+2x ,求dy.解:因为()222cos 22cos 2y x x x x ''=+=+, 故()2d 2cos 2d y x x x =+. 23.(本题满分8分) 计算e1ln d .x x ⎰解:()e e11e ln d ln d ln 1x x x x x x =-⎰⎰e e 1x=-1.=24.(本题满分8分)设()y y x =是由方程e 1y xy +=所确定的隐函数，求d d y x.解:方程e 1y xy +=两边对x 求导，得d de 0d d yy yy x x x ++=. 于是d de y y yx x=-+. 25.（本题满分8分）(1)求常数a ；(2)求X 的数学期望E(X )和方差D(X ).解: (1)因为+++a =1,所以a =. (2) E(X )=0×+1×+2×+3×=.D(X )()()()()22220 1.90.21 1.90.12 1.90.33 1.90.4=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ =.26.（本题满分10分）求函数()31413f x x x =-+的单调区间、极值、拐点和曲线()y f x =的凹凸区间.解:函数的定义域为（-∞,+∞）.24,2.y x y x '''=-=令0.y '=,得 2.x =±0y ''=,得x =0.（如下表所示）函数()f x 的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞), 函数()f x 的单调减区间为（-2,2）, 曲线的拐点坐标为（0,1）, 曲线的凸区间为（-∞,0）, 曲线的凹区间为（0，+∞）. 27.（本题满分10分）求函数()22,f x y x y =+在条件231x y +=下的极值．解:作辅助函数()()(),,,231F x y f x y x y λλ=++-()22231x y x y λ=+++-．令220,230,2310,x y F x F y F x y λλλ'=+=⎧⎪'=+=⎨⎪'=+-=⎩ 得232,,131313x y λ===-. 因此，(),f x y 在条件231x y +=下的极值为231,131313f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.28.（本题满分10分）设曲线24y x =- (x ≥0)与x 轴，y 轴及直线x =4所围成的平面图形为D ．（如图中阴影部分所示）. （1）求D 的面积S.（2）求图中x 轴上方的阴影部分绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V.解: (1)面积()()2422024d 4d S x x x x =---⎰⎰3324440233x x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16.=(2)体积420πd V x y =⎰()4π4d y y =-⎰241=π402y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭8π=.。