相似形（一）一、比例性质 1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：cda b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换)3.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5.黄金分割：○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.例题2．已知111x y x y+=+，求y x x y +的值。
板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
【重难点高效突破】例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC可以推出AD AEBD CE=吗请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =吗说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2） 若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长； （3） 在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
例题精讲AEDBCABCDADBEF【即时训练】一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ） A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A ．AC AE AB AD = B ．FBEA CF CE = C ． BD AD BC DE = D ． CB CF AB EF =.3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ） A ．ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF4、如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是（ ） ∶2 ∶1 ∶1 ∶2（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）5.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） 对 对 对 对(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图)GFEDCBA6.ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶1，那么DE ∶BC 等于（ ） ∶1 ∶2 ∶3 ∶27.如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条 条 条 条8.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A.AC AE AB AD = B.FB EA CF CE = C.BDAD BC DE = D.CB CF AB EF =9.下列说法：其中正确的是( )①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似； ③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、解答题1、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ，求EC 的长.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ⊥BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC. (1)ΔABC 与ΔDCB 相似吗请说明理由. (2)如果AD=4，BC=9，求BD 的长.3.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似为什么4.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E ，交AB 与F ，试判定△BAE 与△ACE 是否相似，并说明理由。
5.如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=10cm ，动点P 在AB 边上由A 向B 作匀速运动，1分钟可到达B 点；动点Q 在BC 边上由B 向C 作匀速运动，1分钟可到达C 点，若P 、Q 两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ ⊥BD6.已知：如图所示，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗请说明理由.7.如图，CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F. AC •AE=AF •AB 吗说明理由.相似形（二）BEFQ P DC B AABC DDABCDABCEA BCD E板块二、新课讲解知识点1．相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．知识点2．直角三角形相似的判定知识点3． 相似三角形中的基本图形A 型，X 型 交错型 旋转型 母子形例题1．点上．（1（2）判定△例题2.例题3．向DAB C D E例题4.已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ，点E 不与点C 重合，若AB ＝10，AC ＝8，设AP ＝x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 的函数关系式．例题5．在三角形ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，延长AM 交BC 于点G ，AD 与BE 相交于点F ， 求证：（1）DE AD=CECD;（2）△BCE ∽△ADM ； （3）AM ⊥BE.【随堂演练】 A 组1．下列命题中正确的是（ ）①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥M N F ABCDEG4．如图，DE 与BC 不平行，当ACAB= 时，ΔABC 与ΔADE 相似。
5．如图，平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF•∽△CDE ，则BF 的长是（ ）．A ．5B ．C ．D ．（3题图） （4题图） （5题图）5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗说说你的理由.6．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似为什么7．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (),AE AB >△AEF ∽△EFC 吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。
若ABCD 为矩形呢板块三、课后作业1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则AODO等于（）．A．13B．25C．23D．122．如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，已知AB CD=DE AC⋅⋅,求证：AE CE=DE EF⋅⋅6．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质FAB DE①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． ③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【重难点高效突破】 例题1.(1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=∆∆COB ABC S S ，则AD:DB=_________(3)如图，已知AB ∥CD,BO:OC=1:4,点E 、F 分别是OC ，OD 的中点，则EF:AB 的值为 (4)如图，已知DE ∥FG ∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABC:9:36 :4:9 :8:27 :8:36(5)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（AD<BC ），AC 、BD 交于点O,若ABCD OAB S S ∆∆=256,则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________。