场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方
向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对
解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。
解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=常数
与v＝常数是正交曲线族。 1. 平面静电场
在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所
在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用
来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为
平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。
为叙述方便，这里说u是电势。u=常数，是等势线族。
曲线族v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而v=常量，
是电场线族。
数学物理方法 第一章
30
例1. 已知平面电场的电势为u=x2－y2，求电场线方程
分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数 的实部与虚部，满足C-R条件
例22.已知解析函数的虚部 v(x,y) x x2y2，求实部
和这个解析函数
方法三d提u 示 ：u d u d
u
u
d
(
)
2 cos ( )
2
u sin ( )
22
( ) 0, ( ) C
数学物理方法 第一章
29
1.5 平面标量场
场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的
满足C-R条件。
x y x y
证明（板书）：
数学物理方法 第一章
13
作业：试推导极坐标系中的C-R条 件
数学物理方法 第一章
14
数学物理方法 第一章
15
1.点解析
解析z 0 ；
2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析；
3.若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。
w f(zz)f(z)
lim lim
z z0
z0
z
存在，并且与 z 0 的方式无关，则称 w f (zz)
在 z 可导，并称这个极限f ( z值) 为 w f (z) 在 z 点的导
数，记作：
数学物理方法 第一章
5
例1：设 f(z)zn,求f'(z)
解:
f'( z ) l i m ( z z ) n z n l i m [ n z n 1 n ( n 1 ) z n 2z (z ) n 1 ]
( x ,0 )
（C为常数）
f(z) x 2 y 2 i(2 x y C ) z2 iC
数学物理方法 第一章
26
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法二：
解：
vu2y,vu2x
x y
y x
d v 2 y d x 2 x d y d (2 x y )
所以 v2xyC
f(z) x 2 y 2 i(2 x y C ) z2 iC
数学物理方法 第一章
x x y y
所以：
u v,v u x y x y
柯西-黎曼条件(C-R条件)
说明：A: C-R条件的有限性
B:可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互
紧密联系的。
数学物理方法 第一章
12
三、导数存在的充分必要条件
f ( z ) 在B内点z可导的充要条件是：
函数f (fz
)
(
z
)
的偏导数
u , u , v , v 存在且连续，并且
数学物理方法 第一章
1
2.性质
数学物理方法 第一章
2
(二)复变函数的连续
1. 函数在某点连续的定义
w f (z) z 0
z z0
设 w f (z) 在 z 0 点及其邻域内有定义，并
且当 z z0 时，有：
lim f ( z ) f (z z0 ) f (z0)
zz0
则称函数 w f (z)在 z 0 点连续
解：设电场线方程为：v(x,y)=c
v u 2 y, v u 2x
x y
y x
dv v dx v dy 2 ydx 2xdy d (2xy) x y
电场v 线2方xy程为C 2xy C
数学物理方法 第一章
31
2. 平面无旋液流
由于无旋，速度矢量可表为某标量的梯度，该标量称速度 势。用一解析函数f的实部或虚部表示速度势，该解析函 数称该平面无旋液流的复势，其虚部或实部即是流量函数， 所代表的曲线族是流线族。
x y
y x
dv2ydx2xdy
所以
(x,y)
＝ 2 ydx 2 xdy 2 ydx 2 xdy C （C为常数）
v
(0,0)
（C为常数）
( x ,0 )
(x,y)
2 ydx 2 xdy ＋ 2 ydx 2 xdy＋C
(0,0)
( x,0)
(x,y)
2 xdy＝2 xy C
如何判断 f ( z ) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件： u , u , v , v
x y x y
在点 z 可导的必要条件是 u , u , v , v 存在，且满足C-
R条件：u vux,uyv,uyvvxx y x y x y y x
数学物理方法 第一章
9
证明：由导数的定义知， z 以任何方式趋于零时，极限
证明： u 梯度
uuiuj, vvivj
x y
x y
则 u • v ＝ ( u i u j ） • （ v i v j ） ＝ u v ＋ u v x y x y x x y y
由C-R条件 uv,vv,则u v＋u v＝0 x y x y x x y y
所以 u•v＝0
五、复变函数的极限和连续
(一)复变函数的极限
1.定义 设函数 w f (z) 在 z 0 点的某邻域内有定义，
若对于任意给定的
，总0 存在有
，
使得当 0
0时| z，就z0|
有 | f(z)w0| ，
w 则称 f ( z ) 当 z z0 时以
记为：
为极限,并
0
limf (z) w0
zz0
是以任意方式
limwlimf(zz)f(z)
z z0
z0
z
存在，且有相同的极限值，即 f ( z )与 z 0 的方式无关， 使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形
设 zxyi
w f(z z)f(z)
u(x x,y y)v(x x,y y)i u(x,y)v(x,y)i
数学物理方法 第一章
10
1. z 沿平行于X轴的方向趋于零， y0,zx
27
方法三：
vu2y,vu2x
x y
y x
将上面第二式对y积分，x视作参数，有
v2xy（ x）
其中 （ x） 为x的任意函数，将上式两边再对x求导
v 2y'(x)
x
由C-R条件'得(x：) 0 (x, ) C
（常数）
所以 v2xyC
f ( z ) x 2 y 2 i ( 2 x y C ) 数 学物( x 理方 法y 第i ) 一2 章 C i z 2 C 1 ( C 1 复 常 28 数 )
f(z)u(xx,y)v(xx,y)iu(x,y)v(x,y)i x
uvi x x
2. z 沿平行于y轴的方向趋于零，
x0,zyi
f(z)u(x,y+y)v(x,y+y)iu(x,y)v(x,y)i yi
v u
i
y y
数学物理方法 第一章
11
因为在 ( x , y ) 可导，因此 uvi vui
注意：连续的定义比实变函数要求更严格
连续函数：
在区域B内各点均连续的函数称为在区域内B的连续函数
数学物理方法 第一章
3
思考：
1
f(z)ez在 原 点 极 限 ？ ， 是 否 连 续 ?
数学物理方法 第一章
4
1.3
一、导数
导数
1.导数的定义：设函数 w f (z) 是在区域B中定义的单
值函数，对B内某一点 z ，若极限
数学物理方法 第一章
20
三、解析函数的性质
1.正交性( u•v＝0 )
若函数f ( x ) u i v 在 区 域 B 上 解 析 ， 则 其 实 部 和 虚 部 梯 度 正 交
或 者 u ( x , y ) C 1 , v ( x , y ) C 2 是 区 域 B 上 的 两 组 正 交 曲 线
数学物理方法 第一章
21
1.调和性（2u0,2v0）
若函数 f ( z ) u i v 在 区 域 B 上 解 析 ， 则 其 实 部 和 虚 部 都 是 调 和 函 数
数学物理方法 第一章
22
B
数学物理方法 第一章
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四、解析函数的求解
由解析函数的充要条件可知，解析函数的实部和虚部通过 C-R条件联系，因此如果知道解析函数的实部或虚部，则 可求解该解析函数。下面以虚部已知证明。 1.证明： 函 数 解 析 ， 则 u , v 可 微 并 满 足 C - R 条 件
3. 平面温度场
同样可用一解析函数，其实、虚部可分别代表温度分布和 热流量函数，对应曲线族分别是等温线族和热流线族。
数学物理方法 第一章
32
本章小结： 书面作业：
P18：1, 2(1),(4),(7), (9), 3
数学物理方法 第一章
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数学物理方法 第一章
24
2.方法 1.曲线积分法 全微分的积分与路径无关，故可以选取特 殊积分路径，使积分容易算出
2. 凑全微分显示法 把du的等式右边凑成全微分显示
3. 不定积分法