第5篇 傅里叶递推算法
一个以T 为周期的函数()t f T ，若在[]0，T -上满足狄氏条件（电网中的电压、电流满足），那么，在[]0，T -上就可以展成傅氏级数。

在计算电网中的电压、电流的基波时，存在两种算法：一种随截取不同时刻的窗（积分区间），得到不同的初相角；另一种维持初相角不变。

例如，[]11---k k t T t ，的基波值
()tdt t f T a k k t T t T k ωcos 2111⎰----=
，()tdt t f T b k k t T
t T k ωsin 21
11
⎰----=。

计算[]k k t T t ，-的基波值 第一种算法
()tdt T t f T a S t T t T k k k ωcos 211+=
⎰---，()tdt T t f T
b S t T t T k k k ωsin 21
1+=⎰---。

()()dt t t f T a S t T t T k k k ϕω-=⎰-cos 2，()()dt t t f T b S t T t T k k
k ϕω-=⎰-sin 2。

()1
第二种算法
()()dt T t T t f T a S S t T t T k k k ++=
⎰---ωcos 211，()()dt T t T t f T b S S t T t T k k k ++=⎰---ωsin 21
1。

()tdt t f T a k k t T t T k ωcos 2⎰-=，()tdt t f T
b k
k t T t T k ωsin 2⎰-=。

()2
k k k b j a c 2
1
21+=
比较()1式与()2式，初相角差()1--==k k S S t t T ωωϕ。

这是由于被分解函数()t f T 与相关函数t ωcos ，t ωsin 的时间差引起的。

被分解函数()t f T 后移S T ，而相关函数t ωcos ，
t ωsin 未移。

若相关函数同步后移S T ，就消除了初相角差S ϕ。

电网的应用中并不关心相量的绝对初相角，只关心它们之间的相对相角（相位差）。

因
此，同时刻的相量运算，只要截取相同的窗，采用相同的算法，得到的相位差是正确的。

但是，不同时刻的相量运算，也必须坚持正确的相角关系。

第一种算法的窗只能相差T n ⋅，而第二种算法无此要求。

例如计算突变量，第一种算法故障前窗超前故障后窗T n ⋅且随故障后窗同步推移。

第二种算法固定故障前窗且靠近故障时刻，故障后窗随时间推移。

直观上
()2式比()1式简单、规整，例如采用第二种算法计算
()()[]tdt T t f t f T a a k k t t T T k k ωcos 211⎰---=
--，()()[]tdt T t f t f T b b k
k t t T T k k ωsin 21
1⎰---=-- ()3
若采用第一种算法计算就相对复杂。

将()3离散得递推公式
()()[]N k t f t f N a a N k T k T k k π2cos 2
1---+
=，()()[]N
k t f t f N b b N k T k T k k π2sin 21---+= ()4
应用()4式计算故障分量。

这里引入一个新概念：当前时刻t ，变化量（t ）=故障后量（t ）
-固定故障前量（譬如，记忆启动前一周波）；突变量（t ）=故障后量（t ）-故障后量（t-T ）。

可见，故障后一个周波的变化量=突变量。

将()4式两边同减0a ，0b 。

得故障分量递推公式
()()()[]N k t f t f N a a N k T k T k k π2cos 2
010-----+∆=∆ ()()()[]N
k t f t f N b b N k T k T k k π
2sin
2010
-----+∆=∆
傅立叶采取全波递推算法，无论稳态量，还是变化量。

我们认为，启动前故障已经发生，约定：
启动点
故障前一个周波的记忆数据
t
故障后的第1点
故障前的最后1点
变化量全波傅氏算法
启动前预计算2个点，启动后进入故障处理程序，接着计算第3点……一直递推下去。

具体算法：令，故障前一个周波的全波傅氏计算值为零作为初值。

预递推2个点，第3点在启动后递推。

()()()[]N k t f t f N a a N k T k T k k π2cos 2
010-----+
∆=∆ ()()()[]N
k t f t f N b b N k T k T k k π
2sin
2010-----+∆=∆ 5.2-=k 发生故障，初值=0。

2-=k 为故障后的第1点。

稳态量全波傅氏算法
启动前预计算2个点，启动后进入故障处理程序，接着计算第3点……一直递推下去。

具体算法：令，故障前一个周波的全波傅氏计算值作为初值。

预递推2个点，第3点在启动后递推。

()()[]N k t f t f N a a N k T k T k k π2cos 2
1---+
= ()()[]N k t f t f N b b N k T k T k k π
2sin
21---+=
可见，变化量与稳态量计算公式完全一样，仅仅是初值不同而已！故障前一个周波的采样值是必须记忆的，假设故障前一个周波的变化量为零，而稳态量是实际值。

递推的傅里叶算法计算变化量的好处在于，在相量形成的过程中，随时间推移逐渐逼近满窗逐渐准确。

动作特性的裕度也随之逐渐减小直至为零。

123024232225
采样点
递推公式：
()()()()25
252
1
241
t f t f t f t f i k
i k
-=-∑∑==，()()()()24
2525
25
2
1
252
-=-=-+=∑∑t
f t f t f t f i k i k。