23.3 相似三角形一、选择题1、已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A. B. 15 C. D.2、如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A. 16B. 17C. 24D. 253、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝12AD，则图中阴影部分的面积为（）A. 25B. 30C. 35D. 404、如图，在△ABC中，EF∥BC，23AEEB，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A. 913B. 25C. 35D. 635、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m6、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A. AE EFEC CD= B.EF EGCD AB= C.AF BGFD GC= D.CG AFBC AD=7、已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A. 3B. 2C. 4D. 58、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD 于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：19、如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且12DEAE=，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A. 21B. 28C. 34D. 4210、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤二、填空题11、如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为______．12、如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为______．13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为______．14、如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为P A、PD上的点，且P A ＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝______．三、解答题15、如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？16、如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．参考答案1、【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．【解答】当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当三边分别为3，46，8，当3，4为直角边，m＝5；则8故m+n＝；当6，8为直角边，n＝10；则4，故m+n＝；选A．2、【答案】A【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．【解答】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG6 ==，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，答案第1页，共10页∴△CEF的周长为16．选A．3、【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．【解答】如图，过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵EF＝12 AD，∴EF＝12 BC，∵AD∥BC，NG⊥AD，∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，又∵MN＝AB＝6，∴GN＝2，GM＝4，∴S△BCG＝12×10×4＝20，∴S△EFG＝12×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．选C．4、【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝2125S△ABC是解题的关键．由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝425S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴22425 AEFABCS AE AES AB AE EB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭△△，∴S△AEF＝425S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即2125S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．选B．5、【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴AB BE AC CD=，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.2 1.514DC=，解得DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，选A．6、【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】∵EF∥BC，∴AF AEFD EC=，∵EG∥AB，∴AE BGEC GC=，∴AF BGFD GC=，选C．7、【答案】A【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比解答．【解答】∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴FHEA＝2，即6EA＝2，解得EA＝3，选A．答案第3页，共10页8、【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．可证明△DFE∽△BF A，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BF A，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BF A＝9：16．选B．9、【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答.根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴12 DE FDAE AB==，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为（8+9）×2＝34．选C．10、【答案】B【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识△APM和△BPN 以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．答案第5页，共10页【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°．∵在△APE 和△AME 中，,,,PAE MAE AE AE AEP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APE ≌△AME （SAS ），故①正确；∴PE ＝EM ＝12PM ， 同理，FP ＝FN ＝12NP ． ∵正方形ABCD 中AC ⊥BD ，又∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，∴∠PEO ＝∠EOF ＝∠PFO ＝90°，且△APE 中AE ＝PE ，∴四边形PEOF 是矩形．∴PF ＝OE ，∴PE +PF ＝OA ，又∵PE ＝EM ＝12PM ，FP ＝FN ＝12NP ，OA ＝12AC ， ∴PM +PN ＝AC ，故②正确；∵四边形PEOF 是矩形，∴PE ＝OF ，在直角△OPF 中，OF 2+PF 2＝PO 2，∴PE 2+PF 2＝PO 2，故③正确．∵△BNF 是等腰直角三角形，而△POF 不一定是等腰直角三角形，故④错误； 连接OM ，ON ，∵OA 垂直平分线段PM ．OB 垂直平分线段PN ，∴OM ＝OP ，ON ＝OP ，∴OM ＝OP ＝ON ，∴点O 是△PMN 的外接圆的圆心，∵∠MPN ＝90°，∴MN 是直径，∴M ，O ，N 共线，故⑤正确．选B ．11、【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．由平行可知△ADE∽△ABC，且12ADAB=，再利用三角形的周长比等于相似比求得△ABC的周长．【解答】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，∴12 ADAB=，∴12 ADEABC=△的周长△的周长.∵△ADE的周长为6，∴△ABC的周长为12，故答案为12．12、【答案】808 yx=+【分析】本题考查了的是相似三角形的判定与性质定理，难度不大，熟练掌握性质和判定定理是解得本题的关键，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．根据题干条件可证得△DEF∽△BCF，从而得到DE DFBC BF=，由线段比例关系即可求出函数解析式．【解答】在矩形中，AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE DF BC BF=，∵BD10=，BF＝y，DE＝x，∴DF＝10﹣y，∴108x yy-=，化简得808yx=+，∴y关于x的函数解析式为808yx=+，故答案为808yx=+．13、【答案】54 85【分析】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．如图，过点F作FH⊥AC于H．首先证明FH：AH＝2：3，设FH＝2k，AH＝3k，根据tan∠FCH＝FH ADCH CD=，构建方程求解即可．【解答】如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5 ==，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝12•AC•BC＝12•AB•CD，∴CD＝125，AD95==，∵FH∥EC，∴FH AH EC AC=，∵EC＝EB＝2，∴23FHAH=，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，∵tan∠FCH＝FH AD CH CD=，∴92512 335kk=-，∴k＝9 17，∴FH＝1817，CH＝272431717-=，∴CF3017==，∴DF＝123054 51785-=，故答案为54 85．14、【答案】18答案第7页，共10页【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用相似三角形的性质求出△P AD的面积即可解决问题．【解答】∵P A＝3PE，PD＝3PF，∴13 PE PFPA PD==，∴EF∥AD，∴△PEF∽△P AD，∴213PEFPADSS⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵S△PEF＝2，∴S△P AD＝18，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△P AD＝12S平行四边形ABCD，∴S1+S2＝S△P AD＝18，故答案为18．15、【答案】48 mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80﹣x) mm，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴EF AK BC AD=，∴8012080x x-=，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48 mm．16、【答案】（1）见解答；（2【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．【解答】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE==∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴AB AE DF AD=，∴AB ADDFAE⋅===答案第9页，共10页。