1 上， v 是任意可导的。 r
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 的球形邻 0 域 K , 是其球面 . 在区域 内及其边界 K
1 1 u r u 林 公 dS 0 4.2 格 式 n r n 在球面 , 上 令 0则 1/ r 1/ r 1 1 2u 2 n0 r r 0 lim 0 u uM lim 0 4 n 于是 因此 1 1/ r 1 1 1 1 u 2M dS 2 udS u 4 4 dS u u M 0 u u M 2 r n 4 r r n M M M M 0 0 同理可得 调和函数的积分表达式 1 u 1 u u dS dS 4 r n n n 因此


grad u grad v dV



u vdV

2

n
n
第二格林公式
所以


v u2vdV u n dS grad u grad v dV 第一格林公式


5.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件 设u是在以 为边界的区域 内的调和函数 , 在 上有一阶连续偏导数 , 则在第二格林公式 u 中取 u 为上述调和函数, v ,则有 . dS 0 1 n u f 所以牛曼内问题( )有解的必要条件为函数 f满
v Qx, y, z u y
v R x, y , z u z
则
P, Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端为
v v v u x cosn, x y cosn, y z cosn, z dS
1 4 a 2
1 1 udS 0dS udS 2 a Ka 4 a Ka Ka
5.3 格林函数
5.3 格林函数
调和函数的积分表达式
1 u M0 4 1 u M n rM 0 M 1 u M dS rM M n 0
对于牛曼问题, v 满足 2 v 0, v | 0 n
v


v u vdV u n dS grad u grad v dV
2


在第一格林公式中取 u v u1, 由 u2v 是调和函数， 可得
v 0 v dS grad v grad v dV n v dS 0, 所以 在两种边界条件下，都有 v n
题中的非齐次项、边界条件无关.如果求得某个区域的 格林函数, 就可以解决该区域的一切狄利克雷问题.
5.3 格林函数
要想确定格林函数 , 需要找一个调和函数 v, 它满 1 足: v | . 对于一般的区域, 确定 v 并不容易, 4 rM 0 M 但对于一些特殊的区域, 如半空间，球域等, 格林 函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电象 法”求解。
其中 n为 的外法向量。 高斯公式可简记为
adV a nd S

5.2 格 林 公 式
设 u u x, y, z ,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
v 令 P x, y , z u x
v u dS n
格 的位置 林 公 式 交换5.2 u,v ,有
v 右端 u dS n
左端

2 2 u v 2v u v v n u 2 dV u 2 dV u 2 dV y y y x x x z z z
确定的 牛曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的.
5.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式 ,是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
5.2 格 林 公 式
设
, 下面求调和函数在 M 0 x0 是 , y0 , z 0内一固定点
三维基本解的物理意义：在 M 0 处放置一单位正电 1 荷，则它在自由空间产生的静电场的电位是 4 r
5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
边界条件: 1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
2)第二边值问题 狄利克雷(Direchlet)问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
1 函数 r 除 r 0 点外处处满足拉普拉斯方程，


grad v

2
dV 0.
v v v 0 x y z
故在 内必有 可得 v C
grad , v即 0
，其中 C为常数.
5.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | , 故 0 从而 v . 0 结论
C0
2 狄利克雷问题在C1 C 内的解是唯一
设


可得
与 相加得
v u 0 (u v )dS n n
1 u M0 4 1 1 u u n r r n dS
v 1 1 1 u u M 0 u v dS n n 4 n r 4 r
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解 ？ 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念. ,u n
5.3 格林函数
上 u为 , v 内的调和函数并且在 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式 v u 2 2 (u v v u)dV (u v )dS n n
的解可以表示为
u M 0 f

G dS GFdV n
5.3 格林函数
狄利克雷问题
2 u F , u u | f
2 v 0, v 1 v | 4 r M 0M
意 义 何 在？
求解

说明 格林函数仅依赖于选取的区域, 而与原定解问
足
n

fdS 0

事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
5.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设
们的差
u1 , u 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则它 2
必是原问题满足零边界条件的解对于 v u1 u2
v
狄利克雷问题，v 满足 2 v 0, v | 0
在第二格林公式中, 取u为调和函数,假定它在 上 1 K 有一阶连续偏导数,而取 v, 在区域 上应 r 用公式得 1 r 1 u 21 1 2 dS u 0 u u dV n r n r r K
这一点的值. 为此构造一个辅助函数
1 v r 1
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
1 除点 r
可以证明函数
外处处满足拉普拉斯方程 . M0
v u (u v v u)dV (u v )dS n n
2 2
1 1 u u u n r r n dS 4 u 4 n 0
5.2 格 林 公 式
4)平均值公式 设函数 u在某区域 内是调和函数 , 是 M0 M 为中心 , 为半径且完全落 M0 内任一点, 表示以 a Ka
5.3 格林函数
注：拉普拉斯方程的基本解
r 2 n n 3 G0 1 n2 ln r
1 , n 3, 4 r 或者 1 ln 1 , n 2. 2 r
称为拉普拉斯方程的基本解，其中 r 表示空间 中 M , M 0 两点之间的距离。
称为三维拉普拉斯方程的基本解。
5.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，Px, y， ， Rx, y, z , z Qx , y, z 在闭域 续,在 内有一阶连续偏导数，则 上连
P Q R dV P cos n, x Q cos n, y R cos n, z dS x y z
5.3 格林函数
如果能找到格林函数中的 v 并且它在 上有一阶连续偏导数， 则狄利克雷问题 2u 0, u u | f 的解如果存在, 必可以表示为 G u M 0 f dS n 类似的，泊松问题 2 u F , u u | f
在 内的球面 , 则有
1 u M0 4 a 2
1 u M0 4
udS
Ka
1 1 u 1 u dS n r r n 4 Ka
1 1 u u a 2 a n dS Ka
第 五 章 拉普拉斯方程的格林函数法
5.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
y, z 设 u ux, 满足拉普拉斯方程
u u u 2 2 0, 2 x y z 描述稳恒状态下的物理过程。通存在初始条件. 拉普拉斯方程的解称为调和函数.
grad v grad u dV v dS v udV u v v
P Q R x y z dV 2 u
两式相减, 得
2v 2v 2v u v u v u v v u 2 2 dV 2 2 dV u 2 x ( u v vu (u x v y ) z dS x y y z) dV z