2016下学期 浏阳一中高三年级期中测试卷文 科 数 学时量： 120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B = （ ）A.{|01}x x <<B.{|01}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，,若12z z 是实数，则实数b 的值为 （ ）A ．0B ．32-C ．6-D ．63. 在平面直角坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是（ ）．A ．9B ．6C ．92D ．3 4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =， ③1()f x x =， ④1()lg 1x f x x-=+，则输出的函数是 ( ) A.()sin f x x = B.()cos f x x = C.1()f x x =D.1()lg 1x f x x-=+ 5.以下判断正确的是 ( )A.函数()y f x =为R 上可导函数，则()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件B.命题“存在2,10x R x x ∈+-<”的否定是“任意2,10x R x x ∈+->” C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条C M NOBA件D.命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题6.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 则该几何体的体积为A.120 cm 3B.100 cm 3C.80 cm 3D.60 cm 37.若数列na 的通项公式为221n na n ，则数列n a 的前n 项和为（ ） A.221nn B.1221n n C.1222n n D.22n n8.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 9.函数sin(2),()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移4π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+ 的图象重合，则ϕ的值为 ( ) A. 56π-B. 56πC. 6π D. 6π- 10.如图所示,两个不共线向量,OA OB 的夹角为，,M N 分别为,OA OB 的中点,点C 在直线MN 上,且(,)OC xOA yOB x y R =+∈,则22x y +的最小值为（ ）A.2B.18C.2D.1211.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23ABC S ∆=6a b +=，cos cos 2cos a B b AC c+=，则c =（ ）A ． 23．7．3312.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是 。
14.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 .15正四棱锥S ABCD -2,,,,S A B C D 都在同一球面上，则该球的体积为 ．16.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是_____________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分） 已知函数2()2sin 23cos 1f x x x x =-++.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.18.（本小题12分）某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本. （1）求每个分组所抽取的学生人数；（2）从数学成绩在)150,110[的样本中任取2人，求恰有1人成绩在)130,110[的概率.19.（本小题12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．a（1）求证：AF ∥平面PCE ；（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；20（本小题12分）已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R （x ）万美元，且R （x ）=（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．21（本小题12分）设同时满足条件：①212n n n b b b +++≥；②n b M ≤（*,n N M ∈是常数）的无穷数列{}n b 叫做P 数列，已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；并证明数列1{}n b 为P 数列.22（本小题12分）设函数2()ln f x a x bx =-. （1）若函数)(x f 在1x =处与直线21-=y 相切， ①求实数a ，b 的值；②求函数()f x 在1[,]e e上的最大值；（2）当0b =时，若不等式x m x f +≥)(对所有的3[0,]2a ∈，(21,x e ⎤∈⎦都成立，求实数m 的取值范围.EFACDPπ34高三文科数学答案A D A D C,BCD B B, A B11[,)4326, -3,17 已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+ …4分∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， ……5分 令ππk x =+62，则()212k x k Z ππ=-∈， ∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈ ……6分 （Ⅱ）∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤ ......8分∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤ .......10分∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为218.（1）2,3,4,1；（2）35.19（1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 21//CD …………1分 ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AB 21//CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG ………3分 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴AF ∥平面PCE …………6分（2）∵ PA ⊥底面ABCD∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A∴CD ⊥平面ADP ，又AF ⊂平面ADP ∴CD ⊥AF …………8分 直角三角形PAD 中，∠PDA=45°∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD=2 ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD=D∴AF ⊥平面PCD …………11分∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD …………12分又EG ⊂平面PCE ∴平面PCE ⊥平面PCD ……… 20解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得 当0＜x ≤40时，W=xR （x ）﹣（16x+40）=﹣6x 2+384x ﹣40；当x ＞40时，W=xR （x ）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x ≤40时，W=﹣6x 2+384x ﹣40=﹣6（x ﹣32）2+6104，∴x=32时，W max =W （32）=6104； 当x ＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max =W （50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W 的最大值为6104万美元． 21.(1)当1n =时，()11111aa S a a ==--，所以1a a =。
当2n ≥时，()111n n n n n aa S S a a a --=-=--，整理得1n n a a a -=，即数列{}n a 是以a 为首项、a 为公比的等比数列，所以1n n n a a aa -==。
(2)由(1)知，()()()()21312111n n n n naa a a a ab a a a ⨯----=+=*- 由数列{}n b 是等比数列，则2213b b b =⋅，故222323223a a a a a +++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得13a =， 再将13a =代入()*式得3nn b =。
由于222111111112113333223n n n n n n n n b b b ++++++⋅+=>==，满足条件①；又由于11133n n b =≤，故存在13M ≥满足条件②。
故数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为P 数列.22.解：（1）①'()2af x bxx=-∵函数()f x在1x=处与直线12y=-相切'(1)20,1(1)2f a bf b=-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩ (3)分②22111 ()ln,'()2x f x x x f x xx x-=-=-=当1x ee≤≤时，令'()0f x>得11<≤xe；令'()0f x<，得ex≤<1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴1,1)(exf在上单调递增，在[1，e]上单调递减，max1()(1)2f x f∴==-…………8分。