高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 π 的扇形，C是扇形弧 3
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何
值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α．
则 y 3sin x 4cos x Asin x cos φ Acos xsin φ
于是 Acosφ 3，Asin φ 4，
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
于是 A2 cos2 φ A2 sin2 φ 25，所以 A2 25，
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归纳小结
问题 本课时我们借助和角公式、差角公式及二倍角公式（共 计十一个公式）研究了形如或可化为形如 y asin ωx bcos ωx 的函数的性质，解决方法是进一步转化为函数 y Asin(ωx φ) 的形式，那么，为什么要化成这种形式？变形依据是什么？你 对三角恒等变换有什么新的体会？
在Rt△OAD中，DA tan 60 3， OA
所以 OA 3 DA 3 BC 3 sin α，
3
3
3
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AB OB OA cosα 3 sin α. 3
D
α OA
C BP
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新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 π 的扇形，C是扇形弧 3
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何
值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
解：设矩形ABCD的面积为S，则
D
S AB BC cosα
3 3
sin
α
sin
α
sin α cos α 3 sin2 α 1 sin 2α
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作业布置
作业：教科书习题5.5第12，14，17题．
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A
A
令
3 A
2
4 A
2
1，解得
A2
25，
不妨取A＝5，则 3sin x 4cos x 5(3 sin x 4 cos x)
5
5
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
令 Acosφ 3，Asin φ 4， 则 y 5(sin x cosφ cos xsin φ) 5sin(x φ)， 故所求周期为 2π ，最大值为5，最小值为－5．
5.5.2 简单的三角恒等变换
第二课时
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ． 追问1 什么样结构的函数便于求周期，最大值和最小值等性质？
一个角的一种三角函数的形式，如 y Asin(ωx φ) 、y Acos(ωx φ) 等形式．
新知探究
追问2 前面学过的哪个公式可以实现和差的形式化为 y Asin(ωx φ) 的形式？ 和（差）角公式逆用即可实现这种转化．
追问3 在已知的函数式中如何出现两个角的正、余弦？ 通过对系数变形，只要构造出两个系数的平方和为1就可以解决问题．
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
取A＝5，则 cos φ 3，sin φ 4，
5
5
由 y 5sin(x φ) 可知，所求周期为 2π ，最大值为5，最小值为－5．
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
解：（2）解法二：设 3sin x 4cos x A( 3 sin x 4 cos x)
解：（1）y sin 3x
3 cos3x 2(1 sin 3x 2
3 cos3x) 2
2(sin 3x cos π cos3xsin π) 2sin(3x π)
3
3
3
因此，所求周期为 2π ，最大值为2，最小值为－2． 3
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ． 解：（2）解法一：设 y 3sin x 4cos x Asin(x φ)
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归纳小结
变换后的形式可以更加方便地研究函数的性质． 变形依据主要和、差角公式、二倍角公式等等． 三角恒等变换需要仔细研究变换对象与变换目标之间的差异， 除角度 差异、结构差异、名称差异之外，还需关注次数差异． 遇到求最值的 问题，可以考虑选择合适的自变量与因变量，并构造函数加以解决．
1 3
3 6
3. 6
因此，当 α π 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3 ．
6
6
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C BP
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新知探究
变式：计算下列式子的值：sin 27 cos 45 sin18 ． cos 27 sin 45 sin18
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3
2
1
3
3 2
sin
2α
1 2
cos
2α
3 6
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3 (1 cos 2α) 6
1 3
sin
2α
π 6
α OA
3. 6
C BP
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新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何 值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
D
C
α OA
BP
追问1 要求最大面积，首先需要根据已知条件将矩形的面积表示出 来，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？怎样思考？
新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 π 的扇形，C是扇形弧 3
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何
值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
解：由 0
α
π 3
，得Leabharlann π 62απ 6
5π 6
，
所以当 2α
π 6
π 2
，即α
π 6
时，
D
α OA
Smax
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目标检测
1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y＝5cos x－12sin x； （2）y＝cos x＋2sin x． 2 要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使
花坛的面积最大？
sin
α
sin
α
sin
α
cos
α
3 sin2 α ． 3
新知探究
追问2 得到这个函数解析式之后，根据我们已有的研究经验，将这 个解析式转化为什么样的形式利于求出最值？
先化为函数化为 y asin ωx bcos ωx 的形式， 再参照例1的解决方法变换为 y Asin(ωx φ) 的形式， 就可以解决最值了．
新知探究
追问1 要求最大面积，首先需要根据已知条件将矩形的面积表示出 来，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？怎样思考？
宽BC可以在直角△OBC中用sin α表示出来，因为AB＝OB－OA，
而OB还是在直角△OBC中用cos α表示出来，
OA在直角△OAD中用AD可以求出，
因此，可得
S
cosα
3 3
答案： 1．（1）2π，13，－13．（2）2π， 5 ， 5 ． 2．当矩形为正方形时，花坛的面积最大．
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再见
解：sin 27 cos 45 sin18 sin(45 18 ) cos 45 sin18 cos 27 sin 45 sin18 cos(45 18 ) sin 45 sin18 sin 45 cos18 cos 45 cos18 tan 45 1