初中数学相似三角形的性质与应用经典试题一、知识体系：1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。

⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2k ）。

二、典型例题：例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,,34AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．803针对练习：1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．32．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习：1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102cm B ．142cm C ．162cm D ．182cm2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。

3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。

4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 。

M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON ＝1。

①求BD 的长；②若△DCN 的面积为2，求四边形ABNM 的面积。

6．（2012湖北鄂州，10） 在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（ ）A ．2010352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ．2010954⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．2012954⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．4022352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭例3：（2014浙江绍兴，20改编）有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm 。

①如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上。

问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？②如果把它加工成矩形零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算。

针对练习：1．）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．1226-D ．626-2．如图，已知△ABC的面积是12，BC＝6，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（）A．1211B．1223n-C．125D．1223n+3．一块直角三角形木版的一条直角边AB为3m，面积为62m，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图①进行加工，小华准备按图②进行裁料，他们谁的加工方案符合要求？例4：如图，为了测量大树的高度，小华在B处垂直竖立起一根长为2.5m的木杆，当他站在点F处时，他的眼睛E、木杆的顶端A、树端C恰好在同一条直线上，量得BF＝3m，BD＝9m，小华的眼睛E与地面的距离EF为1.5m，求大树的高度。

针对练习：1．如图，已知：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9米，留在墙上的影长CD为2米，求旗杆的高度。

2．如示意图，小华家（点A 处）和公路（l ）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（DE ），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区的那段公路记BC ，一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过公路BC 段的时间为6秒，已知广告牌和公路的距离为35米，求小华家到公路的距离．3．如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6m ，两个路灯的高度都是9.6m 。

①求两个路灯之间的距离；②当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？4．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点1C 处直立高3m 的竹竿11C D ，然后退到点1E 处，此时恰好看到竹竿顶端1D 与电线杆顶端B 重合。

小亮的眼睛离地面高度EF ＝1.5m ，量得CE ＝2m ，1EC ＝6m ，11C E ＝3m 。

①△FDM ∽△ ▲ ，△11F D N ∽△ ▲ ； ②求电线杆AB 的高度。

相似三角形的判定一、知识体系：1．相似三角形的概念：三边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比叫做相似比，一般用k 表示。

2．相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（平行法）； ②两角对应相等，两个三角形相似（“AA ”）；③两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（“SAS ”）； ④三边对应成比例，两个三角形相似（“SSS ”）。

3．相似三角形的基本图形ABCDEABCDEDABCE平行型（A 字型） 平行型（X 字型） 旋转型DA B CABC D EABCDAB CDE交错型 母子型二、典型例题：例1：如图，在△ABC 和△ADE 中，已知∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△ADE。

针对练习：1．已知：如图，AB ＝AC ，∠DAE＝∠B。

求证：△ABE∽△DCA。

2．已知：如图，△PQR 是等边三角形，∠APB＝120°，求证：△PAQ∽△BPR。

3．如图，在△ABC 中，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC ∽△DEF 。

4．已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且∠BAC＝∠DAG，∠CDG＝∠BAD。

①求证：AD AGAB AC=； ②当GC⊥BC 时，求证：∠BAC＝90°。

例2：（2014福建南平，21）如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上且∠ABD＝∠C，求证：2AB AD AC =⋅。

针对练习：1．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G 。

写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对。

例3：（2013四川巴中，29）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B。

①求证：△ADF∽△DEC；②若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长。

针对练习：1．（2014辽宁本溪，9）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点。

(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC>∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E。

试说明E是△ABC的自相似点；(2)在△ABC中，∠A<∠B<∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数。

3．（2013江苏苏州，26）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G 。

(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF:FA ＝1:2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y 。

①求y 与x 的函数关系式； ②当6x =时，求线段FG 的长。

例4：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足2AB DB CE =⋅。

求证：△ADB∽△EAC。

针对练习：1．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。

求证：△ABC∽△DBE。

2．已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ABE＝∠ACD，BE 、CD 交于点G 。

①求证：△AED∽△ABC；②如果BE 平分∠ABC，求证：DE ＝CE 。

3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝BE ＝EF ＝FC 。

找出图中相似的三角形，并说明理由。

4．（2014山东淄博，23）如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD 。

连接MF ，NF 。

①判断△BMN 的形状，并证明你的结论； ②判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由。

5．（2014江苏徐州，27）如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数ky x=图象的两支上，且PB ⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点E 、F 。

已知(1,3)B 。

①k = ▲ ； ②试说明AE ＝BF ； ③当四边形ABCD 的面积为214时，求点P 的坐标。