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2013-2014学年第一学期笔试题及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷(A 卷答案) 2013 — 2014学年 第一学期
课程名称:线性代数
(共2页)
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分)已知3阶矩阵A 满足0|52|=+E A ,且1)2(=-E A R ,其中E 为为3阶单位矩阵,求矩阵A 的行列式||A . 解 由0|52|=+E A 知,A 的1个特征值为:251-=λ, 2分 由1)2(=-E A R 知A 的2个特征值为:232==λλ, 4分
所以,A 的行列式||A 10321-==λλλ. 5分
分) 问b a ,为何值时,向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a β和⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=3022β与向量组
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1131α,⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=b 122α等价,并将21,αα用21,ββ线性表示。

解 由于 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a 1311102321),,,(2121ααββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24102131202321
~b a a a
⎪⎪⎪

⎫ ⎝⎛-+----a ab a b b 621111002410261101~ 1分
所以,25,111-==b a 时,21,αα与21,ββ等价. 3分 且有 211411ββα-=,21229
11ββα-=. 5分
分) 设3阶矩阵A 第一行元素与对应的代数余子式分别为111=a , 312=a ,3,1,3,213121113===-=A A A a ,求齐次线性方程组0=Ax 的通解.
解 由已知有:0||131312121111=++=A a A a A a A , 1分 又由于011≠A ,所以2)(=A R 2分
于是,0=Ax 的解空间是1维的. 3分 又由于O E A AA ==||*,所以,T )3,1,3(是0=Ax 的解, 4分
因此,0=Ax 的通解为R c c x ∈⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=,313. 5分
2-1
(5分)设二次型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f可经过正交变换Qy
x=化成标准形
2
3
2
2
2
1
3
2
1
)
,
,
(y
y
y
x
x
x
f-
+
=,且Q的第三列元素为
2
1
,
2
1
,0,求正交矩阵Q和二次
型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f.
解由已知有:A的3个特征值为:1
,1
3
2
1
-
=
=

λ
λ,1分
且属于特征值1
3
-
=
λ的特征向量为T)0,
2
1
,
2
1
(
3
=
ξ.
于是,属于特征值1
2
1
=

λ的特征向量与T)0,
2
1
,
2
1
(
3
=
ξ正交,故可取为:
T
)1,0,0(
1
=
ξ,T)0,
2
1
,
2
1
(
2
-
=
ξ2分
所求正交矩阵为)
,
,
(
3
2
1
ξ
ξ
ξ
=
Q 3分
二次型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f的矩阵为:







-
-
=
Λ
=
1
1
1
T
Q
Q
A. 4分
因此,
2
1
2
3
3
2
1
2
)
,
,
(x
x
x
x
x
x
f-
= 5分
分)设
3
2
1
,

α
α和
3
2
1
,

β
β是向量空间3R的两组基,且满足:
1
1
β
α=,
2
1
2
β
β
α+
=,
3
2
1
3
β
β
β
α+
+
=,若向量α在基
3
2
1
,

β
β下的坐标为T)3,2,1(,求向量
α在基
3
2
1
,

α
α下的坐标.
解由于
)
,
,
(
)
,
,
(
3
2
1
2
1
1
3
2
1
β
β
β
β
β
β
α
α
α+
+
+
=







=
1
1
1
1
1
1
)
,
,
(
3
2
1
β
β
β1分
所以,由基
3
2
1
,

β
β到基
3
2
1
,

α
α的过渡矩阵为







=
1
1
1
1
1
1
C. 3分
因此,向量α在基
3
2
1
,

α
α下的坐标为
=
=-x
C
y1







-
-
=













⎛-
3
1
1
3
2
1
1
1
1
1
1
11
5分
(5分)现有电工、木工、油漆工各一人,按等价交换原则达成如下工作协议,电工
到木工家工作2天,到油漆工家工作4天;木工到电工家工作3天,到油漆工家工作2天;油
漆工到电工家工作4天,到木工家工作3天,他们各自的总收入和总支出恰好相等,求他们的
日工资各是多少?(假设他们的日工资都是介于70~90之间的整数,单位:元).
解设电工、木工、油漆工的日工资分别为z
y
x,
,元,则有





+
=
+
=
+
=
y
x
z
z
x
y
z
y
x
2
4
7
3
2
5
4
3
6
,即





=
-
+
=
+
-
=
-
-
7
2
4
3
5
2
4
3
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
2分
由于
~
7
2
4
3
5
2
4
3
6







-
-
-
-
~
13
12
3
5
2







-
-
⎪⎪









-
-
12
13
1
24
29
1
3分
所以,方程组的通解为:





=
=
=
k
z
k
y
k
x
24
26
29
R
k∈. 4分
由于z
y
x,
,都是介于70~90之间的整数,所以有72
,
78
,
87=
=
=z
y
x元. 5分
2-2。

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