前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法 袁志红
关于前n 个连续自然数的平方和：
)12)(1(61......2222321++=++++n n n n
的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.
我们先来计算：
3212
22++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。

为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表①： 1
2 2 ①
3 3 3
把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表②：
3
3 2 ②
3 2 1
再把数表②顺时针旋转120度得到数表③：
3
2 3 ③
1 2 3
观察①、②、③三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？ 不难发现：
最顶层的三个数字是：1、3、3；
第二行左侧三个数字是：2、3、2；
第二行右侧三个数字是：2、2、3；
第三行最左侧三个数字是：3、3、1；
第三行中间三个数字是：3、2、2；
第三行最右侧三个数字是：3、1、3.
通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7.
每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共6个7，而这三个数表的数字都是一样的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为：6×7÷3.
而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数，所以共排了：1+2+3=6个数字。

所以，321
222++=（1+3+3）×（1+2+3）÷3 =（1+2×3）×3×（3+1）÷6； 同理，n ++++......321222也可以采用上面的方法推导出来： 1
2 2
3 3 3
………… ④ n n n n …………n n n n n n
顺时针旋转120度，得到：
n
n n-1
n n-1 n-2
n n-1 n-2 n-3 ⑤ …… …… ……
n n-1 n-2 n-3 …… …… …… 4 3 2 1 把数表⑤再顺时针旋转120度，得到：
n
n-1 n
n-2 n-1 n
n-3 n-2 n-1 n ⑥ …… ……
1 2 3 …… …… n-1 n 三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字： 1+2+3+4+……n=n(n+1)÷2,所以三个数表数字之和：（2n+1）n(n+1)÷2,所以每个数表数字之和：)12)(1(6
1
++n n n . 即，
)12)(1(6
1......2222321++=++++n n n n . 请大家用相同的方法证明： 1×2+2×3+3×4+……+n ×(n+1)=)2)(1(3
1++n n n .。