城市空气质量评估及预测摘要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标,就城市空气污染程度,空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。
利用层次分析法和Ｐerron—Ｆrobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。
运用GM(1,1)灰色预测模型,结合相关数据运用ｅxcel软件进行数据统计,对成都市2０10年11月份的空气质量状况进行预测。
使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。
关键词：空气质量,层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测,优势分析,可吸入颗粒，二氧化硫，二氧化氮一、问题的提出１。
1背景介绍随着中国经济的进一步发展,环境问题已是制约我国发展的关键因素之一,而环境问题最突出的就是空气污染。
“十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：AＰI指数≤100的天数超过全年天数85％。
“城考”依据API指数≤1０0的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。
“APＩ指数≤１00的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。
本文主要针对以下几个问题进行相关分析：（1）利用已知的数据,建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。
（2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测.(3）收集必要的数据,建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。
二、基本假设1）表格中已有的数据具有权威性,值得相信，具有使用价值。
2）空气质量相同等级的污染程度相同。
3）假设该市各种影响空气质量的软因素(如工业发展，人口数量)保持平稳变化。
4）不考虑突发事件即人为因素（如工业事故）造成的空气质量突变。
5）假设各种因素对环境的影响最终主要表现在可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上,不考虑其他随机因素的影响。
三、问题的分析3。
1第一问所涉及的问题是一个具有一般性的，又有代表性的排序问题，鉴于每个城市的空气质量状况等级的权重有所不同,我们利用层次分析法对题中所测得城市空气质量状况进行排序，首先建立层次分析结构：最上层为目标层(O):各城市空气质量污染程度。
中间层为准则层（Ｐ）：空气质量状况等级。
共7个等级,依次为P i 最底层为对象层（C）:为排序对象。
(1,2, (7)i由各层次之间的关系，C与Ｐ关联,且P与O相关联。
３。
2第二问涉及对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，故可以运用GM 模型对其进行灰色预测,从掌握的历史数据可以看出，每年11月的空气质量级别分布较为相似,全月的平均值较好的反应了相关指标的变化规律,这样我们可以将预测评估分为两个部分：1）利用灰色理论建立GM(１,１)模型，由2０05－2009年1１月份空气质量指数的平均值预测2０10年的平均值。
2）通过历史数据计算每天指标值与全月总值的关系,从而可以预测出正常情况下2０10年11月份每天的指标值，即空气质量指数。
3。
3第三问是要分析影响空气质量的因素,本文主要考虑计入空气污染指数的三个指标。
通过计算可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮的关联度,分析得知哪个因素对空气质量影响较大,哪个因素对空气质量影响较小。
四、模型的建立及求解4.1运用层次分析法，将研究目标（Ｏ)，空气质量状况(P)和对象(C）相应的分为目标层,中间层,最底层。
层次关系图如下：按照层次分析法的步骤，构造城市排名模型： 1） 建立层次结构图（如上图）；2） 构造比较矩阵A ，比较7个空气质量状况P 对目标层（O ）的影响程度,即确定它在O 中所占得比重.对任意两个和，用ij a 表示i P 和j P 对Ｏ的影响程度之比,按1—9的比例标度来度量ij a (,1,2...)i j n =，由此可得到两两成对比较矩阵()ij n n A a ⨯=，ij a ＞０ , 1ji ija a =， ij a ＝1 (,1,2...)i j n = 比例标度的确定：ij a 取1—９的9个等级，而ji a 取ij a 的倒数。
比例标度值3）确定相对权重由两两成对比较的判断矩阵。
结合P ｅrron —Frob ｅｎions 定理,得非负矩阵存在正的最大模特征值,对应着正的特征向量.用“和法”求出矩阵的最大特征根和最大特征向。
再将所求的特征向量单位化后得到的就是空气质量状况P 对目标O 相对影响性的权重,记为ω。
和法求矩阵的最大特征根和最大特征向a ． 将A 的每一列向量归一化得 1/nij ij ij i a a ω==∑, 矩阵ij ω如下:0．5０１1 0．6７9７ 0．4575 ０。
38１0 0.3248 0。
２83２ 0.22５00。
1253 0.１６9９ 0．3660 0.317５ ０．278４ ０．2478 0。
2０000．10０2 0。
0４2５ 0。
０915 0.19０５ 0.1856 0。
1７70 ０。
17５00。
０８3５ 0。
0339 0.0305 0.0635 0．1392 ０．14１6 0．1500 0。
０７1６ ０。
０283 0．０229 0.0212 0.０46４ 0．1062 0.1２5０0.0６２6 ０.０２４3 0．0183 ０。
0１5９ ０.01５５ 0。
0354 0．100０0.０55７ 0.0212 0。
0１31 0．０106 0。
0０93 ０.0089 0。
0２5０b ． 对ij ω按行求和得i ω:0。
4０75 0。
24360。
１375i ω=0．09１8 0.０6020。
03８9 ０.02０6c ． 将i ω归一化得71/i i i i ωωω*==∑,ω＝127(,,...)Tωωω即为特征向量。
d ． 7max1()17ii iA ωλω==∑()i A ω表示A ω的第i 个分量。
结果如下3.５38２2．1734()i A ω= １。
13480.714１ﻩ 0.4４３７ ０。
２776 0。
１530由此得出:max 1(8.68278.72208.05317.27897.17047.13627.4272)7λ=++++++ 7.78= 一致性检验：（1） 一致性指标:max 1nCI n λ-=-得CI ＝0。
13（2） 随机一致性指标：RI 如图表:（3) 一致性比率0.130.0980.11.32CI CR RI ===<,得到A 的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量ω作为权向量.4）对象层Ｃ对准则层Ｐ的比重可通过已给出各城市的空气质量状况结合统计学知识列出如下表的比重关系:５)层次总排序,即C层对目标Ｏ的总排序。
方法是将P——C所得出的城市空气状况比重作为列向量构成７×7矩阵，和由Ｐ对目标O的权量构成的7×1矩阵做乘法，结果即是1０个城市的空气污染严重程度的权重向量，那么数值较小的数所对应的城市空气污染程度就比较严重。
通过以上模型的求解，得到1０个城市空气质量污染程度的综合排名：（由重到轻）况。
结论显示乌鲁木齐的空气污染程度在1０个城市里最严重，由于乌鲁木齐有大量的石油开采基地有大量污染物体产生,以及连续出现静风天气和乌鲁木齐上空的逆温层阻碍了污染物的扩散，使其越积越多，导致空气污染随之加重.４.2对成都市20１０年11月份空气质量指数建立灰色预测模型GＭ（1,１)由已知数据，对2０05－２009年十一月份的空气指数记为矩阵A=530(a )ij ⨯,计算每年的年平均值,记为:(0)(0)(0)(0)((1),(2)(5)),x x x x =（1）并要求级比()0(0)()(1)/()(0.7165,1.3956)i x i x i λ=-∈(2,35)i =.，对(0)x 作一次累加，则:(1)(0)(1)1(1),()k ik xx x i x ===∑（0）（）(2,35)i =， (２)记 (1)(1)(1)(1)((1),(2)(5)),x x x x =取(1)x 的加权平均值则(1)(1)(1)()()(1)(1)(2,35),z k x k x k k =∂+-∂-=∂为确定参数，记：(1)(1)(1)(1)((2),(3),(5)),z z z z = (3）于是GM （1，1）的白化微分方程模型为(1)()/,t t x d d ax b +=其中a 是发展灰度，b 是内生控制灰度。
由于(1)(1)(0)()(1)(),x k x k x k --=取(0)()x k 为灰导数，(1)()z k 为背景值，则可得出相应的灰微分方程：(0)(1)()()(2,3,5)x k az k b k -==运用最小二乘法可求：22[()]/[()],a n xy x y n x x =--∑∑∑∑∑ b y ax =+ （4）其中x 为(1)()z k ,y 为(0)()x k ; 于是方程有响应（特解）(1)(0)ˆ(1)((1)/)/at xt x b a e b a -+=-•+， 则(1)(0)(1)ˆ(1)((1)/)()ak a k xk x b a e e ---+=--。
(5） 则由上式可得到20１0年11月份空气指数的平均值，则预测２0１0年11月份的空气指数总值为30X x =，根据历年数据,则可以统计出２０1０年11月份每天的空气指数占整月总值的比例i u ，即:5305111/(1,230),i ij ij j i j u a a i =====∑∑∑ （6)则1230(,,),u u u u =于是可得2０10年１1月每天的空气指数值为Y X u =。
模型求解：由数据表，结合（1),(２）两式计算可得月平均值，一次累加值分别为：(0)(98,67,88,82,86)x = (1)(98,165,253,335,421)x =注：由于空气指数均为整数,故求均值时进位取整。
显然(0)x 的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里参数0.5∂=合适，则由（3）可得:(1)(131.5,209,294,378)z =则所得对应灰微分方程为:67131.5;88209;82294;86378;a b a b a b a b +=+=+=+=运用最小二乘法公式（4)可求得：0.06079;96.1375;a b ==由式（5)可得201０年11月份空气质量指数平均值为69x ≈， 则月总指数值:302070X x ==，由式(6）得到每天的比例为：(0.0256,0.0297,0.035,0.0362,0.0389,0.0358,0.0408,0.0412,0.0503,0.0477,0.0412,0.0338,0.0337,0.0296,0.0287,0.024,0.0214,0.0275,0.0266,0.0288,0.02930.03,0.0301,0.0294,0.0335,0.0312,0.0358,0.0335,0.0363u =,0.0345)；故2０10年11月1－30天的空气质量指数预测值为：(53,61,72,75,80,74,84,85,104,99,85,70,70,61,59,49,44,57,55,59,60,62,62,61,69,64,74,69,75,71)Y X u==模型检测：通过上述所建模型我们对20０５—20０9年１0月空气质量指数进行预测，将预测值与实际统计值进行比较,如下表所示:号数 17１8 19 2 26 ２728 293０ ３1 实际值 95 1 ５ 55 81 71 预测值 9８ 88 68 82 ８９ 8６47877７5从上图可以较为直观地看出，通过所建模型计算预测出所得的预测值在较大程度上与实际值吻合，故所建模型是正确可行的。