哈工大2010年春季学期现代控制理论基础 试题B 答案题号 一 二 三 四 五六 七 八 卷面分 作业分 实验分 总分 满分值 10 10 10 10 10 10 10 10 80 10 10 100 得分值第 1 页 （共 8 页）班号 姓名一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。

其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。

【解答】根据基尔霍夫定律得：11132223321L x Rx x u L x Rx x Cx x x++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 改写为1131112232231211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩，输出方程为2y x =写成矩阵形式为[]111112222331231011000110010RLL x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。

【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有：()()253()2()z z Y z z R z ++=+系统的脉冲传递函数：2()2()53Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为2()530D z z z =++=特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。

（3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为哈尔滨工业大学现代控制理论基础 (B 卷答案) 班号： 姓名：第 3 页 （共 8 页）[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩（4）系统矩阵为0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G ，输出矩阵为[]10=c ，[][]01100135⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c Q cG ，o rank 2=Q ，系统完全能观。

三．（本题满分10分） 回答下列问题：（1）简述线性系统的对偶原理；（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；（3）r 输入r 输出2+r 阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？ 【解答】（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。

（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。

当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。

（3）r 输入r 输出2+r 阶线性解耦系统等效于r 个独立的单输入单输出系统。

四．（本题满分10分）设有一个2阶非线性系统，其状态方程为112222cos x x x x x x =-⎧⎨=⎩，判断该系统在坐标原点处的稳定性，并证明你的判断。

【解】此系统在坐标原点处不稳定。

【证明】取李雅普诺夫函数2212()V x x =+x ，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：()2112211222()222cos 2V x x x x x x x x x =+=-+x 221122222cos 2x x x x x =-+ ()22112222cos 2x x x x x =-+222222112222222112cos cos 2cos 42x x x x x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭22212222112cos 2cos 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。

五．（本题满分10分）设某控制系统的模拟结构图如下，试判断系统的能控性、能观性和稳定性。

【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式1122123x x x u x x u =-++⎧⎨=--⎩ 1y x =写成矩阵形式为[]11221223110110x x u x x x y x ⎧-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩2310-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦b ，[]10=c 。

系统的特征方程为哈尔滨工业大学现代控制理论基础 (B 卷答案) 班号： 姓名：第 5 页 （共 8 页）()223det 2301λλλλλ+--==++=I A显然系统渐近稳定。

系统的能控性矩阵为[]1511c -⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦Q b Ab ，显然，c Q 满秩，所以系统状态完全能控。

系统的能观性矩阵为1023o ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦c Q cA ，显然，o Q 满秩，所以系统状态完全能观。

六．（本题满分10分）某系统的状态空间表达式为[]00116001u y ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=x x x设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为10-。

【解答】设全维观测器方程为[]112200101160l l u y l l ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪=-++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭x x 112201160l l u y l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x观测器特征多项式为()11221220det 61616l l l l l l λλλλλ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪-==+++⎨⎬⎢⎥---++⎪⎪⎣⎦⎩⎭I 观测器期望特征多项式为()221020100λλλ+=++根据多项式恒等的条件得21620100l l +=⎧⎨=⎩ 解得1210014l l =⎧⎨=⎩，全维状态观测器方程为01001100120014u y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x七. （本题满分10分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。

【证明】设原线性系统为=+⎧⎨=+⎩x Ax Buy Cx Du 其特征方程为()det 0s -=I A设线性变换为=x Tz ，变换后的线性系统为11--⎧=+⎨=+⎩z T ATz T Buy CTz Du 该系统的特征方程为()1det 0s --=I T AT写成()11det 0s ---=T T T AT()1det 0s -⎡⎤-=⎣⎦T I A T()()()1det det det 0s --=T I A T ()()()1det det det 0s --=T T I A ()()1det det 0s --=T T I A()()det det 0s -=I I A()det 0s -=I A显然，其特征方程保持不变。

证毕哈尔滨工业大学现代控制理论基础(B 卷答案) 班号： 姓名：第 7 页 （共 8 页）八. （本题满分10分）开环系统的结构如图所示：试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间 5.65s t =秒（0.02∆=），超调量为 4.32%P σ=，其中一个闭环特征值为5-。

求状态反馈控制律的数学表达式。

【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：写成状态空间表达式为12223331552x x x x x x x u y x =⎧⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩，即[]010005500012100u y ⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎩x x x 闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间 5.65st =秒（0.02∆=），可得：45.65s nt ζω==，0.707n ζω≈，超调量为 4.32%P eσ==，解得0.707ζ≈，所以1n ω≈。

期望闭环特征多项式为()()()()2225251n n s s s s s ζωω+++≈+++((*32()515f s s s s =+++++设状态反馈控制律为[]123u k k k =x ，代入可得闭环系统的状态方程123010552221k k k ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x 闭环特征多项式为()12300010()det det 00055002221s f s s s s k k k ⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥=-=-- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎝⎭I A 12310det 0552221s s k k s k -⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦()()323231625101010s k s k k s k =+-+---根据多项式恒等条件可得：3231625 6.4145101018.07105k k k k ⎧-=+=⎪⎪--=+=⎨⎪-=⎪⎩解得：1230.50.10.207k k k =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，状态反馈控制律为[]1231230.50.10.207u k k k x x x ==---x 。