关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见
多力昆·阿布都热西提
2014.6.3
关于比较一次函数的函数值与二次函数的
函数值大小之我见
多力昆·阿布都热西提
在初中数学中，一次函数的图像和二次函数的图像的复杂的和潜在的概念现象大部分的师生分析问题陷入困惑。

数学教师对这一点的忽略引起了学生对这个容的探究精神的欠缺。

数学没有明确概念，解决问题一定会受阻，如果概念里模糊，问题与学过知识之间的技术处理一定会失败。

我认为，一次函数的图像与二次函数的图像之间的函数值的大小问题应该分层次分析。

下面，我来分析二次函数的图像与一次函数的图像之间存在的模糊问题的看法。

1、在同一个平面直角坐标中，二次函数y
1
= ax2+bx+c和一次函
数y
2
=ax+b的函数值的大小问题
（1）判断二次函数的图像与一次函数的图像的关系，如果二次函
数y
1
= ax2+bx+c的图像与一次函数的图像相交，则函数值相等，即
y
1= y
2。

由上可得：ax2+bx+c=ax+b。

整理得：ax2+（b-a）x+c-b=0。

检验：Δ=b2—4ac=(b—a)2—4a(c—b)
第一：当Δ>0时，二次函数的图像与一次函数相交于不同的两个点。

设交点的坐标为（x
1，y
1
），（x
2
，y
2
），
在y= ax2+bx+c中，当a>0（x
1< x
2
）时，x
1
<x< x
2
时，y
2
> y
1
，
当x> x
2或x< x
1
时，y
2
< y
1
（图1）在y= ax2+bx+c中，当a<0（x
1
<
x
2）时，x
1
<x< x
2
时，y
1
> y
2。

当x> x
2
或x< x
1
时，y
2
> y
1。

（图2）
图1
图2
在图1中，在直线x= x
1与直线x= x
2
之间，一次函数的图像在
二次函数的上方，即，y
1> y
2
在直线x= x
1
的右边与直线x= x
2
的右
边，一次函数的图像在二次函数的下方，即y
1> y
2。

在图2，在直线x= x
2
之间，二次函数的图像在一次函数的图像，
即：y
1> y
2。

在直线x= x1的左边与直线x= x2的右边，一次函数的
图像在二次函数的图像上方，即y2> y1。

第二，当Δ=0时，一次函数的图像与二次函数的图像有一个交
点，此时，设交点的坐标为（x
0，y
），在y
1
=ax2+bx+c，当a>0时，
在x= x
0的条件下，y
1
> y
2
，（图3）。

在x≠ x
的条件下，y
1
> y
2
，（图
4）。

在y 1= ax 2+bx+c ，当a<0时，在x= x 0的条件下，y 1= y 2， 当x ≠x 0时，y 2> y 1。

图3 图4
在图3，直线x= x 0经过二次函数的图像与一次函数的图像的交点，即 y 1= y 2。

当x ≠
x 0时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方。

在图4，直线x= x 0经过一次函数的图像与二次函数图像的交点，即y 1= y 2。

当x ≠ x 0时，一次函数的图像在二次函数图像上的上方。

第三：Δ=0时，二次函数的图像与一次函数的图像没有交点。

此时，当a>0，y > y （图5） 当a<0，y < y （图6）
图5 图6
在图5，当x= x
0时，都y
1
> y
2。

在图6，当x= x
0时，都y
1
< y
2。

2、判断一次函数y
2=ax+b，（y
2
=b）与二次函数y
1
= ax2+bx+c
的关系。

这种特殊情况下判断一次函数的图像与二次函数的图像位置关系，跟第一步骤一样，如下图：
图
图9 在图7中，y 1与y 2的大小跟图1，图2一样。

在图8中，y 1与y 2的大小跟图3，图4一样。

在图9中，y 1与y 2的大小跟图5，图6一样。

3、大部分的问题中，求一次函数的函数值与二次函数的函数值的大小，遇到图标，学生容易不感到之中问题。

比如：（列）如果二次函数y= x 2+bx 的图像对称轴经过点（2,0）且平行于y 轴，则求关于x 的方程x 2+bx=5的跟？
在这个问题中，学生一看“对称轴” “方程的跟”的概念就隐如困惑了。

分析：方法1；y= x 2
+bx 的对称轴x=2，所以由x=- a
b 2 =2得b=-4. 把
b=-4代入x 2+bx=5，容得一元二次方程，就可以解方程。

方法2：由两个函数的图像相交，它得的函数值相等。

所以把x 2+bx=5可以写成y= x 2+bx 与y=5.把他们用函数观点来可以解决。

综上可知，在二次函数的函数值与一次函数的函数值比较大小，首先要明确函数值的相等还是不相等，使函数式的右边相等Δ≥0的是表示方程的根，
及表示图像的相交。

Δ<0的是表示方程没有根，即表示图像不相交。