§1 装箱问题的描述
设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，… 其数量足够供所达到目的之用 . 每个箱子的负荷（可为 长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 < wj < C j = 1，2，…，n 的物品 J1，J2，…，Jn 需要装入箱内. 装箱问题：
是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将 J1，J2，…，Jn 全部装入箱内.
§1 装箱问题的描述
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BP 的应用举例：
1 .4 4 7 1 0 .0 8 1 0
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 而用
户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 如何根据用
户4、提生出产的流要水求线，的用平最衡少问的题线材给截定出流所水需节的拍定C货, 如；何设置 2最、少二的维工作BP站，玻（璃厂按生一产定出的长紧宽前一约定束的）大沿的着平流板水玻线璃将,任
它不能与 I1 中的物品共用箱子, 但可能与 I2 中的
物品共用箱子，由于放 I2 中物品的 I 2 个箱子的剩余
总长度为 C I2 C wj jI2
在最好的情形下，C 被 I3 中的物品全部充满，故剩
下总长度
w
wj
jI3
C
将另外至少与
Iw 2 C
中个的附物品加如的何？箱子
.
§2 装箱问题的最优解值下界
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问 L(a) ？ L1 未必！ 如 (w ja, j1:n)
Corollary 3.1 记 L 2 m a x L ( a )0 a C 2 ,a 为 整 数
则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 L2 L1 .
Proof : L2 为最优解的下界是显然的 .
(若证明 L(0) L1 ，则可得 L2 L1 )
n
w
i
Theorem 3.1
BP 最优值的一个下界为 L 1
i1
C
.
a 表示不小于 a 的最小整数.
Theorem 3.2
设 a 是任意满足 0 a C 2的整数,对 BP 的任一实例 I ,
记 I1物 品 jw jC a, I2物 品 jC a w j C 2,
I3物 品 jC 2w ja,
装箱问题的其他一些提法：
1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、 体积 etc . 即二维、三维、…装箱问题；
2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 Ci, i1: n.
3、物品J1，J2，…，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题；
4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的 箱子停留现场可供使用, etc .
n
i1
C((BBPP)) s.t. wjxij Cyi i1: n (1)
j1
n
xij 1
j 1: n (2)
i1
y i 0 0 y i o r 1 1 , ,0 x i j x i 0 j o 1 r 1 i ,j i , j 1 : 1 n : . n .
§2 装箱问题的最优解值下界
则装箱问题的整数线性规划模型为：
(BP )
n
min z yi
n
i1
s.t. wjxij Cyi i1: n (1)
j1
i1
y i 0 o r 1 ,x i j 0 o r 1i ,j 1 :n .
第八章 装箱问题
上述装箱问题是这类问题最最早优被目标研可究如的何，提也？是提 法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 BPNPC.
但务用 分户配所到各需工玻作璃站的上长宽. 称可为能带有附许加多优差先异约，束如的何根BP据. 用
户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货;
3、计B算P 机是的容存量贮限问制题的工如厂要选把址大问小题不的同特的例共之一10.MB 的
文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB ,
已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件
L(0)0I2
max0,(jn1wj
I2
C) C
当L I(2 a aL ) 2 = m I01a L x 时(0 I2 )，0 ,L m IL 1 1a 1 x I0 2 ,, (I j 2 I3 U w mIja3 x(是I2I所C 2 , 有L j 1I2 物w j品)L)C 1 .
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第八章 装箱问题
第八章 装箱问题
§1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法
第八章 装箱问题
装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化 问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 .
则
L(a)I1I2m ax 0, (j I3w j(I2Cj I2w j))C
是最优解的一个下界 .
第八章 装箱问题
C
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品No的te:装w 箱可能. 小C-于a 零
Q I1UI2 中物品的长度大于C/2 ,
C/2
又是 Q最优I每这L 3 (中解就个a )每的 需物I 个一要品1 物个需II1品2 下单 长界独m I 2度a 放.个x 至入箱0 ,少一 子(为j个 I.3w 箱aj, 子(，I2C aj I2w jI)1)C I2 I3
§1 装箱问题的描述
由于 wi < C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n .
设约的束物条品y件i总（负 1 01荷）箱不否表子超则示B过：i 被一C使；旦用箱i子1:Bni ;被使用，放入 Bi
约束条xi件j （ 1 0 2）物否表品 则示J：j 放每入个箱物子品Bi 恰中好放i,入j 一1:个n 箱. 子中 .
不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
第八章 装箱问题
§2 装箱问题的最优解值下界
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