指数式与对数式的运算指数与指数幂的运算教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾：1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：n a =,||,a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数；=（a ≥0）.2.规定正数的分数指数幂：m na=（0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指数化为分母，幂指数化为分子），1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．03.指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈ 范例解析例1求下列各式的值：（1（*1,n n N >∈且）； （2解：（1）当n3π=-； 当n|3|3ππ=-=-. （2||x y =-.当x y ≥x y =-；当x y <y x =-.例2已知21na =，求33n nn na a a a--++的值.解：332222()(1)1111n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=-=++.例3化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-；（2a ＞0，b ＞0）； （3解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]44a b ab a+-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b abab b a⋅⋅=1136322733a b a ba b⋅=104632733a ba b=ab.）原式===22111144336444(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.例4化简与求值：（1（2⋅⋅⋅+解：（1）原式=22+（2）原式+⋅⋅⋅+=11⋅⋅⋅=11)2.点评2A B-是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.对数与对数运算教学目标：1.理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.2.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.知识点回顾：1. 定义：一般地，如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）.记作logax N=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数10log N简记为Nlg在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作Nln3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a>≠时，log baN b a N=⇔=.4. 负数与零没有对数；log10a=，log1aa=5. 对数的运算法则：log()log loga a aM N M N=+，log log loga a aMM NN=-，log logna aM n M=，log a Na N=,其中0,1a a>≠且，0,0,M N n R>>∈.6. 对数的换底公式logloglogbabNNa=. 如果令Nb=，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n na a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等.范例解析例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg0.11=-； （4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =.例2计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）解：（1）设lg0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg0.0013=-.（2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=.（3）设x =，则x e =12xe e =，解得12x =.所以，12=.例3已知b a ==4log 3log 55，，则l o g 2512是（ ）A 、 a b +B 、)(21b a +C 、 abD 、12a b例4求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a aM M N N-=. 证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =. 所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为p p q q M a a N a -==，则log log log a a a M p q M N N=-=-.所以，log log log a a a MM N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.例5试推导出换底公式：log log log c a c bb a= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =， 则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=.所以，log log log c a c bb a=. 点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.例6化简与求值：（1）5lg 5lg 2lg 2lg 2+⋅+；（2）2log .解：（1）原式1)52lg(5lg 2lg 5lg )5lg 2(lg 2lg =⨯=+=++=（2）原式=1222log ⨯=221log 2=21log (442=21log 142.例7若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 例8 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=. 解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==.由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+===，得到1210b x x =.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.例8（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=.（2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=,∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.课后练习【基础训练】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=； 238=______； 3481-= ；632125.13⨯⨯=log4=___． =⋅2log 3log 32322化简下列各式：(0,0)a b >>（1） 66)(y x -)(y x >； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3231312212x x x（3）3421413223)(abb a ab b a • （0,0>>b a ） （4）2111333324()3a ba b ---÷-=；（5）2222(2)()a a a a ---+÷-=． 3.求值：（1）35log(84)⨯=______； （2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=______；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=________． (4)=++2)2(lg 50lg 2lg 25lg4.在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是 【能力提升】1.设m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值。