第二章数的运算第一节定义新运算【知识点拨】基本概念：定义新运算，是在四则运算的基础上，用一种特殊的符号来表示某种特定的运算，在计算时必须严格按照所定义的运算格式进行代换计算的一种新型运算。
解答定义新运算这种类型的题目，应分两步去做：首先按照新定义的运算方式将字母替换成数，然后根据四则运算求出算式的值。
如：设a△b=a+b+ab3△2=3+2+3×2=115△5=5+5+5×5=35【典型例题】例1．假设a ★b = ( a + b )÷b 。
求8 ★5 。
【解析】该题的新运算被定义为: a ★b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★5 =例2.如果a◎b=a×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）。
【解析】根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
例3.若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
【解析】A*B是这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
【练一练】1．对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值。
2．若规定运算a*b=2(a＋b)，求(3*5)*2的值。
3、定义a△b=ba＋ab，则4△50=例4.定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
例5.如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：（3※2）×5。
【解析】通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。
例6.规定x△y=3x-2y,已知x△(4△1)=7,求x的值。
【解析】【练一练】4、已知a@b表示a除以3的余数再乘以b，求13@4的值。
5、规定f(a)=＋2a＋3, 则f(2)=6、设a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4a-3b，若已知x△(5△2)=46,求x的值。
【测一测】1、若规定A△B=3A＋4B，求(4△5)△6的值。
2、定义新运算“Ο”为xΟy=2xy-(x+y),求12Ο（3Ο4）。
3、定义新运算a▽b=a×b+a+b,求（1▽2）▽3.4、设a▽b表示a的4倍减去b的3倍，即a▽b=4a-3b，若已知x▽（5▽2）=46,求x的值。
5、规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值6、对于任意的两个数P、Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。
例如：2☆8=（2×8）÷4。
已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
第二节等差数列及其应用【知识点拨】一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
例如：等差数列：3、6、9 ……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。
常用公式：等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）=a+(n-1)d首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。
求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。
【典型例题】例1．求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。
【解析】分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。
S＝（a＋b）×n÷2例2.求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。
【解析】首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。
S＝（a＋b）×n÷2【练一练】1、求1＋2＋3＋4＋……＋74＋75的和。
2、求2＋6＋10＋14＋……＋122＋126的和【典型例题】例3．有一列数：5，8,11,14…①求它的第100项的数②求前100项的和.【解析】①这个数列是等差数列，首项是5，公差是3，②=例4. 在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603【练一练】3、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？4、求等差数列1、4、7、10 ……，这个等差数列的第30项是多少？【典型例题】例5. 有一串数：1,4,7,10…，298，求这串数的和.【解析】这个数列是等差数列，首项是1，末项是298.项数：和：例6.写出数列：1,2,3,4,5,6…中第n个偶数和第n个奇数.【解析】数列中的偶数是2, 4 ,6, 8…2n项数是1 2 3 4…n第n个偶数=2n数列中的奇数是1, 3, 5, 7,…项数是1，2，3，4…n第n个奇数是2n-1 (n=1,2,3…)【练一练】5、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。
6、把105根木材堆积成6层，堆积的时候，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下层放多少根？。
【测一测】1、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。
2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、（）、（）。
3、有一个数列：6、10、14、18、22 ……，这个数列前100项的和是多少？4、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。
它的末项是多少？5、在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？6、（2002+2000+1998+……+4+2）－（2001＋1999＋1997＋……+ 3+1）7.、3个连续整数的和是120，求这3个数。
8、6个连续整数的和是273，求这6个数。
第三节简便计算——简便计算（一）【知识点拨】1.简便计算是一种特殊的计算，就是灵活、正确、合理地运用各种性质、定律，使复杂的计算变得简单，从而大幅度地提高计算速度与正确率。
2.运算定律和性质（1）加法交换律：a+b=b+a（2）加法结合律：(a+b)+c= a+(b+c)（3）乘法交换律：a×b=b×a（4）乘法结合律：(a×b)×c= a×(b×c)（5）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c(a+b+c)×d=a×d+b×d+c×d(a+b-c)×d=a×d+b×d-c×d(6)减法性质：a-b-c= a-(b+c) a-（b+c）= a-b-c （7）除法性质：a÷b÷c= a÷(b×c) （b、c不能为0）（8）分数的性质：（9）添去括号法则：括号前是“+”，添、去括号不变号括号前是“-”，添、去括号要变号（10）数字前面符号搬家：在只有加减法运算中，可带数字前面符号搬家，如：a+b-c= a-c+b在只有乘、除法运算中，可带着数字前面符号搬家。
如：a×b÷c= a÷c×b（c 不为0）【典型例题】例1. 4.75-9.63+（8.25-1.37）【解析】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质，使运算过程简便。
所以：原式=4.75+8.25-9.63-1.37=13-（9.63+1.37）=13-11=2例2.399998+39998+3998+398【解析】先凑成整数再减去相差的数，凑整调整后一定要与原数保持相等，所以：原式=（400000-2）+（40000-2）+（4000-2）+（400-2）=444400-8=444392【练一练】1、6.73-2+（3.27-1）2、99【典型例题】例3. 2.5【解析】熟记25并且在做简便计算时要灵活运用小数的性质，所以：原式=2.5=10=100例4. 98【解析】利用乘法分配率，先凑成整数再加上相差的数，把101拆成100加1，凑整调整后一定要与原数保持相等，所以：原式=98×(100+1)=98×100+98×1=9800+98=9898例5.【解析】上题是分数与整数相乘，仔细观察数字间特点，（1）中的与1只相差，如果把写成（1-）的形式与37相乘，再运用乘法的分配率就能简化运算了，所以：原式=（1- ）=37-=37-=【练一练】3、(13×125)×(3×8)4、198×10015、【典型例题】例6.【解析】同例5一样，本题中的27可以写成（26+1）。
所以：原式=（26+1）=26=15+=15例7.+【解析】【练一练】6、7、【测一测】1、43.21+98.76+56.79+1.242、199999+19999+1999+199+193、125×25×324、1998×100015、35×6、73×7、（90+8、×2011【完全训练】1、5364-19992、1994+199.4+19.94+1.9943、57×125×84、68×0.995、7.2×1.026、14.15-（7-2.1257、13-0.758、2006简便计算（二）【典型例题】例1．3387【解析】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配率使计算简便。
所以：原式=3387.5=338.75=（338.75+661.25）=1000=790000例2. 3.5【解析】【练一练】1、975×0.25+9×76-9.752、5.4×+3.6÷+0.6【典型例题】例3.81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5【解析】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。
所以：原式=81.5×（15.8+51.8）+67.6×18.5=81.5×67.6+67.6×18.5=（81.5+18.5）×67.6=100×67.6=6760例4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7【解析】先整体分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配率来简算。