充分条件与必要条件2. 第一章 集合与简易逻辑的复习二. 本周重、难点：1. 关于充要条件的判断2. 本章综合知识的应用【典型例题】[例1] 判断下列各组命题中p 是q 的什么条件？（1）p ：0=ab ，q ：022=+b a（2）p ：0>xy ，q ：y x y x +=+（3）p ：0>m ，q ：方程02=--m x x 有实根（4）p ：012>++ax ax 的解集为R ，q ：40<<a解： （1）p 是q 的必要不充分条件 （2）p 是q 的充分不必要条件 （3）p 是q 的充分不必要条件 （4）p 是q 的必要不充分条件[例2] 已知：p ：02082>--x x ，q ：01222>-+-a x x ，若p 是q 的充分而不必要条件。

求正实数a 的取值范围。

解：p ：10>x 或2-<x 又 ∵ 0>a ∴ q ：a x +>1或a x -<1由题意q p ⇒但/⇒q p 如图 则有⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥->101210a a a 解得30≤<a∴ 实数a 的取值范围是30≤<a[例3] 已知p 是r 的充分条件，而r 是q 的必要条件，同时又是S 的充分条件，q 是S 的必要条件。

（1）S 是p 的什么条件？ （2）p 是q 的什么条件？（3）其中有哪几对条件互为充要条件？ 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒⇒q S S r r q r p ∴∴（1）S 是p 的必要条件 （2）p 是q 的充分条件（3）r 与S ，r 与q ，S 与q 三对分别互为充要条件[例4] 当且仅当m 取何整数值时，关于x 的方程。

0442=+-x mx ① 0544422=--+-m m mx x ②的根都是整数解：方程①有实根的充要条件是：01616≥-=∆m 解得1≤m方程②有实根的充要条件是：0)544(41622≥---=∆m m m 解得45-≥m∴145≤≤-m由m 为整数知：1-=m ，0，1当1-=m 时，方程①为0442=-+x x 它没有整数根 当0=m 时，方程②为052=-x 它也没有整数根当1=m 时，方程①、②的根都是整数[例5] 设a 、b 、c 为ABC ∆的三边，求证：方程0222=++b ax x 与0222=-+b cx x 有公共根的充要条件是︒=∠90A证明：（1）充分性 ∵ ︒=∠90A ∴ 222c b a +=∴ 0222=++b ax x 可化为：02222=-++c a ax x0)]()][([=-+++c a x c a x ∴ c a x --=1，c a x +-=2同理：0222=-+b cx x 可化为：02222=-++a c cx x0)]()][([=++-+a c x a c x ∴ c a x --=3，a c x +-=4 ∴ 两方程有公共根c a -- （2）必要性设两方程有公共根α 则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++02022222b c b a αααα ∴0)(22=++ααc a 又 ∵ 0≠α 若0=α代入任一方程得02=b 即0=b 这与已知b 是三角形的边长0≠b 相矛盾∴ c a --=α把c a --=α代入上面方程组与任何一个式子，均可得222c b a +=∴ ︒=∠90A[例6] 设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式01121>++c x b x a 和+22x a022>+c x b 的解集分别为M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分与不必要条件解：对于022>--x x 和022>++-x x 有221111-=-=-，但其解集分别为}21|{<<-x x 和1|{-<x x 或}2>x 不相等，∴ 充分条件不成立又对于012>---x x 的解集为φ，0422>---x x 的解集为φ，412111--≠--≠--∴ 必要条件不成立 ∴ 212121c c b b a a ==是M=N 的既不充分也不必要条件。

[例7] 已知：11<-x ax的解集为1|{<x x 或}2>x ，求a解：原不等式化为：011)1(<-+-x x a ∴ 同解于0)1](1)1[(<-+-x x a由已知解集为：1|{<x x 或}2>x 得01<-a∴ 0)1](1)1[(>---x x a 即0)1)(11(>---x a x ① 又解集为1|{<x x 或}2>x 的不等式为0)1)(2(>--x x ②比较①、②得211=-a 解得121<=a ∴21=a [例8] 已知集合}6553|),{(2-+-==p px x y y x A p 其中]100,1[|{∈=∈x x B p ，}N x ∈，求所有集合p A 的交集A 。

解：由65532-+-=p px x y ∴0)653()5(2=--+-y x p x ∴ ⎩⎨⎧=--=-0653052y x x 解得⎩⎨⎧==105y x可知所有p A （]100,1[∈p ，N p ∈）中的抛物线都过定点（5，10）∴ 所有p A 的交集)}10,5{(=A【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题：1. 设全集为U ，下面三个命题中，真命题的个数是（ ）（1）若B A ⋂φ=，则U B C A C U U =⋃)()( （2）若U B A =⋃，则φ=⋂)()(B C A C U U （3）若φ=⋃B A ，则φ==B A A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 设}1|{<=x x A ，}0)2)((|{≤--=x a x x B 且}2|{≤=⋃x x B A ，则a 的取值范围是（ ）A. 1≤aB. 1<aC. 1>aD. 1≥a3. 032>+++a ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.（4-，0）B. ),0()4,(∞+⋃--∞C. ),0[∞+D. )0,(-∞ 4. “B A x ⋂∉”的充要条件是（ ） A. A x ∈有B x ∈B. A x ∈或B x ∈C. A x ∉且B x ∉D. A x ∉或B x ∉二. 填空题：1. 已知},35|{*N x x a a A ∈+==，},27|{*N y y b b B ∈+==，则B A ⋂中的最小元素是 。

2. 方程0)1(2=+--m x a x 的解集为A ，方程0)1(2=+-+a x m x 的解集为B ，若}2{-=⋂B A ，则=⋃B A 。

3. x x 3212-<-的解集是 。

4. “到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 。

三. 解答题：1. }04|{2=+=x x x A ，}01)1(2|{22=-+++=a x a x x B 若B B A =⋂，求a 的值。

2. a 为何值时，02)1()23(22>+-++-x a x a a 的解是一切实数？3. 求证：一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）最多有两个不相等的根。

【试题答案】一. 1. D 2. A 3. C 4. D二. 1. 23 2. }1,1,2{-- 3.}53|{<x x 4. 圆的切线到圆心的距离等于半径 三. 1. 解：由042=+x x 得01=x ，42-=x ∴ }4,0{-=A ∵ B B A =⋂∴ A B ⊆ 若B ∈0则012=-a ∴ 1±=a当1-=a 时，}0{=B ，当1=a 时，B=A若B ∈-4，则01)4()1(2)4(22=-+-⋅++-a a ∴ 1=a 或7 当7=a 时，}12,4{}017)17(2|{22--==-+++=x x x B 此时B B A =⋂不成立若φ=B ，则0)1(4)1(422<--+=∆a a 得1-<a 综上所述1=a 或1-≤a2. 解：（1）由0232=+-a a 得1=a 或2=a1=a 时，原不等式为02>恒成立2=a 时，原不等式为02>+x 2->x 它的解不是R x ∈（2）当0232≠+-a a 时①：1<a 或2>a ②：1<a 或715>a∴ 1≤a 或715>a3. 证明：假设方程有三个互不相等的根1x 、2x 、3x则①－②：0)(21=++b x x a ④ ①－③：0)(31=++b x x a ⑤ ④－⑤：0)(32=-x x a∵ 0≠a ∴ 032=-x x 即 32x x =这与假设21x x ≠3x ≠矛盾 ∴ 原方程最多只有两个不相等的根。