就称这两个线性方程组等价
2021/3/6
线性代数课件
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B41
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
r1 r2 r3 2
1 2 2 3
1 1 3
6
2 1
1 9
1 1 1 7
4
2 2
B1
9
2021/3/6
线性代数课件
r2 r31 1 12 12 41 r2 4 r3
或令 x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
x
x2
x x
3 4
c 3 c 3
c
1 1 0
3 0 3
其中c为任意常. 数
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线性代数课件
矩阵 B4 和B5 都称为行阶梯. 形矩阵
特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个 台阶 只有一行，
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
( B1 )
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2x3 x4 4,
2 3
4
3 21
31
25xx22
2x3 5x3
2x4 3x4
0, 6,
3x2 3x3 4x4 3,
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3．上述三种变换都是可逆的．
若(A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若(A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若(A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
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线性代数课件
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元 法 2．．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i kj 替换 i ）
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如果矩A经 阵有限次初等矩 变阵 换 B，变 就称矩A与 阵B等价，记 A~作 B．
等价关系的性质：
（ 1 ） 反身 性 A A ； （ 2 ） 对 若 称 A B ,则 性 B A;
（ 3 ）若 传 A B B 递 , C 则 性 , A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
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一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2, 1
4xx116xx2222xx33x24x4
4, 4,
2
3 2
(1)
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
2021/3/6
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解
x1 x2 2x3 x4 4, 1
11 10 0000
12 11 00 00
12 11 20 10
14 10 0136
0304rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B5
0 0 0 0 0
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B5
对应的方程组为xx 12
x3 x3
4 3
x 4 3
Brr143 32322rr11
01 03 06
21 51 39
12 15 73
22 23 94
rr43 360 32rr11 B2
r2 2 r3 5 r2 r43r2
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
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rBr343 2rr430001
对于任何Am 矩 n,总 阵可经过有限次初 变换把他变为和 行行 阶最 梯.简 形形
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
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同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj; ri (k1)或ri k; ri ( k )rj或 ri kj.r
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所
（ i行 第 k ,记 乘 r i k 作 ）
3把某一行所k有 倍元 加素 到的 另一
对应的元素j上 行去 的 k倍 （加 第到 i行第 上 记作 ri kjr） .
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因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B(Ab)41
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
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二、矩阵的初等变换
1
2
3 (B2 )
4
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于是解得
x x
1 2
x3 x3
4 3
x 4 3
其中x3为任意取. 值
或令 x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,3 1 4 来自即xc 1 1
3 0
0 3
（2）
其中c为任意常. 数
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
2021/3/6
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行阶梯形B矩 5还阵 称为行最简形 即矩 非阵 零行的第一个1非 ，零 且元 这为 些非零元 列所 的其他元素.都为零
线性代数
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第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
2021/3/6
线性代数课件
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大.