美国高中学生数学竞赛题
1.(1995年文理)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值。
答案：64。
2.(1989年文)如果(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于()
A.-2
B.-1
C.0
D.2
答案：(A)
3.(1989年理)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=____。
答案：-2。
题源：(美28届10题)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a0，那么a7+a6+…+a0等于()
A.0
B.1
C.64
D.-64
E.128
答案：(E)
改编点评：1题将指数7改为6，改为简答题；2题将底数(3x-1)改为(1-2x)，展开式改为x的升幂排列，所求结论中去掉了常数项a0，3题改编方法同2题，改为填空题。
4.(1990年文)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()
A.-26
B.-18
C.-10
D.10
答案：(A)
题源：(美33届12题)设f(x)=ax7+bx3+cx-5，其中a.b和c是常数，如图f(-7)=7，那么f(7)等于()
A.-17
B.-7
C.14
D.21
E.不能唯一确定
答案：(A)
改编点评：降低了次数，减少了一个字母系数，降低了难度。
5.(1990年文理)如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值是()
A. B. C. D.
答案：(D)
题源：(美35届29题)在满足方程(x-3)2+(y-3)2=6的实数对(x，y)中，的最大值是()
A.3+2
B.2+
C.3
D.6
E.6+2
答案：(A)
改编点评：圆方程中的圆心坐标、半径作了改变，题设的叙述方式也作了变化。
6.(1990年文理)函数y=+++的值域是()
A.{-2，4}
B.{-2，0，4}
C.{-2，0，2，4}
D.{-4，-2，0，4}
答案：(B)
题源：(美28届8题)非零实数的每一个三重组(a，b，c)构成一个数。
如此构成的所有数的集是()
A.{0}
B.{-4，0，4}
C.{-4，-2，0，2，4}
D.{-4，-2，2，4}
E.这些都不对
答案：(B)
改编点评：将a、b、c改为三角函数，考查的知识面更广。
7.(1992年文理)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()
A.2
B.
C.5
D.6
答案：(C)
题源：(美35届25题)一个长方体的表面积为22cm2，并且它的所有棱的总长度为24cm，那么它的对角线的长度(按cm计)是()
A. B. C. D. E.不能被唯一确定
答案：(D)
改编点评：作了两个方面的变化：将全面积22cm2改为11，去掉单位。
8.(1992年文理)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么()
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)
D.f(4)＜f(2)＜f(1)
题源：(美35届16题)函数f(x)对于一切实数x都满足f(2+x)=f(2-x)，如果方程f(x)=0恰好有四个不同的实根，那么这些根的和是()
A.0
B.2
C.4
D.6
E.8
答案：(E)
改编点评：题源是一个抽象函数问题，有一些难度，作为高考题是不合适的，8题主要采用题源中对称轴的表达方式，通过设计一个二次函数，结合对称性考查函数的单调性。
9.(1994年文理)已知sinθ+cosθ=，θ∈(0，π)，则ctgθ的值是____。
答案：-。
题源：(美29届15题)若sinx+cosx=，且0≤x≤π，那么tgx是()
A.-
B.-
C.
D.
答案：(A)
改编点评：x改为θ，将求正切值改为求余切值，改成填空题。
10.(1995年文理)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若=，则等于()
A.1
B.
C.
D.
答案：(C)
题源：(美20届32题)设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，如果对所有的n，有=，则第一个数列与第二个数列的第十一项的比是()
A. B. C. D. E.不能确定
答案：(A)
改编点评：改变的比值，设问方式作了较大变化，将求某一项的比值改为求比值的极限。
11.(2002年文理)不等式(1+x)(1-|x|)＞0的解集是()
A.{x|0≤x＜1}
B.{x|x＜0且x≠-1}
C.{x|-1＜n＜1}
D.{x|x＜1且x≠-1}
答案：(D)
题源：(美27届7题)若x是实数，那么(1-|x|)(1+x)是正数的充分必要条件是() A.|x|＜1 B.x＜1 C.|x|＞1 D.x＜-1 E.x＜-1或-1＜x＜1
答案：(E)
改编点评：改变了设问方式，将求充要条件改为求不等式解集。