第一篇 力学
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向方
重 程两边乘以 ，ri得到：
大
数 理 学
F i
e
ri
sin i
Fir i
i sini
miri2
院
赵
外力矩
内力矩
承
均
对所有质点求和，且它们的角加速度β均相同，有：
i
F i
e
ri
sin i
i
F i
i
ri
sini
i
miri2ຫໍສະໝຸດ 合外力矩理 学 院
坐标系
以刚体上任一点为坐标原点，过该点垂直于转轴的 直线为 X 轴，转轴为 Z 轴。
赵 承
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
均
参考线 转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
转心
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。
矢径
某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇 力学
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体
重 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。
大
数 理
1.角坐标— 描写刚体转动位置的物理量。
学
院 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与参
考线间的夹角 。
赵
承 均
单位：弧度，rad
P
角坐标为标量。
角位矢的大小等于角 坐标，其方向由右手螺 旋法则确定，或规定正 方向（逆时针）后由其 值的正负确定。
数 理
轴之间的垂直距离 d 的乘积。
学
院
M Fd rF sin
M
赵
承 M Fd
均
根据矢量乘积法则：
F
or
r
d
P
A B AB sin
用矢量方法表示力矩：
M rF
F 为外力在转动平面内的分矢量
第一篇 力学
单位：牛顿·米，N·m 方向：从r右旋到F，大拇指指向。
重
大 M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面：规定正方向后，力矩的
第一篇 力学
单位：弧度/秒2 ，rad/s2,s-2 方向：角速度变化的方向。
重
大
数
理
学
院
o
赵
o
承
均
角加速度是矢量，但对于定轴转动角加速度的方向只有两 个，只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不 必用矢量表示。
第一篇 力学
§ 5.2 刚体定轴转动定律
一、力矩
重
大
力对转轴的力矩等于在转动平面内的分力 F 的大小和 F 与
o
x
Reference line
第一篇 力学
2.角位移— d 描写刚体位置变化的物理量。
重
大 数
刚体初始角坐标 0
理
学 末态角坐标
院
刚体的角位移
赵
承 均
0
单位：弧度， rad
P
o
0
x
Reference line
角位移是赝矢量，对无 限小转动是矢量：
即： 0 时是矢量。
角位移方向的确定方法同角位矢。
大 ① 用平均角速度代替变化的角速度；
数
理
学 ② 令 t 0 取极限；
院
赵 lim d
承
t0 t dt
均
即：角速度为角坐标对时间的一次导数。
方向：右手四指沿刚体转动方向，伸 直的大拇指的指向为角速度的方向。
定轴转动的角速度方向只有两个，因此在 规定正方向（逆时针方向）后，角速度方 向可用其值的正负表示。
第一篇 力学
定轴转动有以下特征：
重 1 、任意一点的运动轨道都是圆轨道，并且圆心是轨道面与定
大 数
轴的交点。
理 2 、所有质点的转动角速度都相同，线速度与该质点到定轴的
学 院
距离成正比。
赵 承 均
定轴转动
定点转动
第一篇 力学
三、刚体转动的角量描述
重
大
角位矢（角坐标）、角位移、角速度、角加速度。
数
第一篇 力学
§ 5.1 刚体平动和定轴转动
一、质点系力学性质的分类
重
大 数
刚体
任意两质点间距离不变的质点系，称为刚体。
理
学 院
变形体
至少一对质点间距可变的质点系，称为变形体。
赵 承
二、刚体运动的分类
均
平动
刚体中任意两质点连线 在运动过程中保持平行的 运动，称为平动。
此类运动，任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。
二、转动定律
重
大
由牛顿运动定律推导
数
理 学
根据牛顿第二定律有：
院
赵
Fie Fii miai
承
均 a为i 质P 点作圆周运动的加速度，
其切向和法向分量式为：
Z
,
Fii
O
ri
i
Fie i
P
切向：
F e i
sin
i
F i i
sin
i
miai
miri
法向：
F e i
cosi
F i i
cosi
miain miri 2
数 理
方向可由正负号确定。
学
院 容易证明：刚体内各质元间的内力力矩的矢量和恒为 0 。
赵 承 均
M
F
r
第一篇 力学
例：一匀质细杆，长为l 质量为m，在摩擦系数为m的水平桌
重 面上转动，求摩擦力的力矩 Mf。
大
数 理
解：杆上各质元均受摩
学 擦力作用，但各质元受
院 的摩擦阻力矩不同，靠
赵 近轴的质元受阻力矩小，
合内力矩
第一篇 力学
因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零，所以:
重 大 数 理 学 院
令
赵 承 均
则
F i
i
ri
sini
0
i
n
n
M
F i
e
ri
sin
i
,
J
mi ri 2
i 1
i 1
M J
定轴转动定律—— 刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动 惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。
承 均
远离轴的质元受阻力矩
大，
dm
o
x
x dx
lm
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
质元受阻力矩 dM f dmgx
第一篇 力学
细杆受的阻力矩
重
大
数 理
M f dM f
学 院
l
0 gxdx
赵 承
1 gl2
均
2
由细杆质量 m l
有
Mf
1 mgl
2
dm
o
x
x dx
lm
第一篇 力学
Rigid body
第一篇 力学
Rotational theorem
转动 刚体中至少（任意）两质点连线在运动过程中方向变
重
化的运动，称为转动。
大
数
理 学
转动还包含以下几种特殊形式：定轴转动、定点转动、平面
院 平行运动等。
赵
承 均
定轴转动
刚体在运动过程中，能 且只能在刚体上找到两点 保持不动，这种运动称为 定轴转动。
第一篇 力学
3.角速度— 描写刚体转动快慢和方向的物理量。
重
大 数 理 学
⑴平均角速度
t
院
即：刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。
赵 承
均 单位：弧度/秒， rad/s，s-1
转/分， rev/min
1rev/min 2 rad/s 0.105 s-1
60
第一篇 力学
⑵ 角速度
重
第一篇 力学
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
重
大 数
⑴ 平均角加速度
理
学
t
院
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵
承 均
⑵ 角加速度
①用平均角加速度代替变化的角加速度；
②令 t 0 取极限；
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
即：角速度对时间 t 的一 次导数，或角位矢对时间 t 的二次导数。