圆锥曲线中离心率及其围的求解专题【高考要求】1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。

2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略；3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。

【热点透析】与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。

因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

2.解题时所使用的数学思想方法。

（1）数形结合的思想方法。

一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。

（2）转化的思想方汉。

如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。

（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。

（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。

【题型分析】1. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．BCD ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2a x c =-，∴ 方程为224a y x c=；由双曲线可知2(,)b P c a ，∴ 2224()b a c a c =⨯，∴ 222222b b a a =⇒=，∴ 212e -=，3e =．2．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324+ 解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图， 由平面几何知识可得2112||:||:||1:3:2PF PF F F =，所以由椭圆的定义及cea=得： 1212||22312||||31F F c e a PF PF ====-++，故选B ． 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e =+．3. （09理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】对于(),0A a ，则直线方程为x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因此222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．答案：C4. （09理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =从而可得33c e a ==，故选B 5.（08理）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的1F 2F xOyP直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）A．BCD6.（08理）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57.（08全国一理）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．388.（10文）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A（B（C（D解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴= 220c a ac --=，解得c e a ==9.（10全国卷1理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：33如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b)．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.【解析1如图，||BF a ==, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得 1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232,c a a a =-e ⇒=【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221x y a b +=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，222230223330;122212222c c c c y b x b y b bx x x c y y -++⋅-=⇒===⇒===-++，代入222291144c b a b +=，e ⇒=10. （07全国2理）设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD．解122222122210()()(2)10AF AF AF a aeAF AF c 11. 椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o的直线与椭圆交于A 、B 两点且F 分向量BA 的比为2/3，椭圆的离心率e 为: 。

本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。

思路简单，运算繁琐。

下面介绍两种简单解法。

解法（一）：设点A(),A A x y ，B (),B B x y ，由焦半径公式可得32A B a ex a ex +=+，则2()3()A B a ex a ex +=+，变形2()A B B a ex a ex a ex +--=+，所以2()A B Be x x a ex -=+因为直线倾斜角为45o，所以有225e AB ，所以e =提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。

焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。

一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。

解法（二）：1125BE BF AB e e ==• 1135AD AF AB e e ==•AC ==AD BE AC-==131255AB AB e e •-•=e =12. （10理）(20)（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为)y x c =-，其中c =.联立2222),1y x c x yab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2= 得离心率23c e a ==. ……6分 13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA =2π,则椭圆离心率的围是_________. 解析：设椭圆方程为2222b y a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆：x 2－ax +y 2=0,两式联立消y得222a b a -x 2－ax +b 2=0.即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2ea －a ＜a 22⇒＜e ＜1. 答案：22＜e ＜1 14. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212MF MF b ⋅=，椭圆的离心率的取值围是;解析: 由椭圆的定义，可得 212MF MF a +=又2212MF MF b ⋅=，所以21,MF MF 是方程22220xax b -+=的两根，由22(2)420a b ∆=--⨯≥， 可得222a b ≥，即2222()a c a ≥-所以c e a =≥，所以椭圆离心率的取值围是 15. （08）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值围是A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)解析 由题意可知2233()()22a a a e a c c ->+即331122e e->+解得2e >故选B. 16.（07）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值围是（ ）Ａ．1(0]2，Ｂ．2(0，Ｃ．1[1)2，Ｄ．21) 解析 由题意得2222a c c ≤⨯∴2e ≥故选D.17.（07）设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值围是（ ）A ．2(0]，B ．3(0，C ．21)D.3[1)分析 通过题设条件可得22PF c =，求离心率的取值围需建立不等关系，如何建立？解析：∵线段1PF 的中垂线过点2F ， ∴22PF c =，又点P 在右准线上，∴22a PF c c ≥-即22a c c c ≥-∴3c a ≥31e ≤<，故选D.点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18. （08理）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值围为（B ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断0x a解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥所以双曲线离心率的取值围为13e <≤，故选B.解2 如图2所示，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，222(2)4cos 254cos 2m m m ce a θθ+-===-.当点P 在右顶点处有θπ=.∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈.选B.小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的围，从而求得离心率的围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.19.（08理）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M总在椭圆部，则椭圆离心率的取值围是（C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C． D． 解 据题意可知，∠1F M2F 是直角，则垂足M 的轨迹是以焦距为直径的圆.所以2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<.又(0,1)e ∈，所以)22,0(∈e .选C.小结 本题是最常见的求离心率围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a ，b ，c 间的不等量关系，然后利用a ，b ，c 间的平方关系化为关于a ，c 的齐次不等式，除以2a 即为关于离心率e 的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的围，就得到了离心率的取值围.20. （04）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A43 B 53 C 2 D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥所以双曲线离心率的取值围为513e <≤，故选B.21. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值围是（ ） A (1,2] B (1,3] C [2,3] D [3,)+∞解析222122222(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.22. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，椭圆的离心率e 的取值围是; 。