(证明略)
在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
例6.求 z e xy 在(2,1)点的全微分
z ye xy , x
z xexy y
z y
x 2 y 1
z x
x2 y 1
e2 ,
2e 2 ,
dz e2 dx 2e2 dy
f ( x0 x, y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) lim x 0 x
Hale Waihona Puke (3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 f x 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.
2 2 f ( x , y ) x y x y 例1.
z [ f x (0,0)x f y (0,0)y]
xy (x) (y)
2 2
( ).( 0)
定理2(可微的充分条件) 若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微. 注意:反之不然. 例如:
1 2 2 2 2 ( x y ) sin , x y 0 2 2 f ( x, y) x y 2 2 0 , x y 0
( x ) 2 ( y ) 2
dz A x B y 称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分
注: (1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.
(2).可微分一定连续.
x 0 y 0
lim z lim [ A x B y ( )] 0
x 0 y 0
(3).全微分特征: 全微分是自变量增量的线性函数; 全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小 ( 0)
四. 全微分与偏导数的关系 定理1(可微的必要条件) 若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必 存在,且 z z
dz x x y y
注: (1).与一元函数类似: dz
z z dx dy x y
(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.
xy 2 2 , x y 0 例如: f ( x, y) 2 2 x y 0, x2 y2 0 f x (0,0) f y (0,0) 0 但是函数在(0,0)不可微.
例7.求 u x sin
y e yz 的全微分 2 u u u 1 y 1, ye yz cos ze yz , x z y 2 2 1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 可导 连续 多元函数: 可微
类似的定义三阶以上偏导数
定理
若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 f xy , f yx 在(x,y)连续, 则 f xy f yx (适用于三阶以上)
例5.
y z arctan x
2 z 2 z , 求 yx xy y z 1 y , ( 2 ) 2 2 y x y x 1 ( ) 2 x x x z 1 1 , 2 2 y x y y 1 ( ) 2 x x
z f ( x x, y y) f ( x, y)
全增量
2.定义:
如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为 z A x B y ( )
仅与x,y有关 则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分
z 2 x 3 y 9 xy 2 x y
2 z 3 2 x 18xy 2 y
2 z 2 6 xy x 2
2 z 2z 2 2 6x y 9 y 1 yx xy
3 z 2 6 y x 3
三. 全微分的概念 1.全增量: 设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,
f y ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 x x0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Ty 对y 轴的斜率t an
二.高阶偏导数
二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f x , f y 仍为 x, y 的函数.
它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.
可微
偏导数连续
可偏导
连续
练习
x2 y 2 u u u 1. u xy z sin ,求 , , 2 z x y z
2 3
2 2 2 2 u x y x y 2 2 y 2 z 3 sin 2 x y z cos , 2 2 x z z u x2 y2 x2 y2 3 3 2 xyz sin 2 xy z cos , 2 2 y z z 2 2 2 2 u x y x y 2 2 2 3xy 2 z 2 sin 2 xy ( x y ) cos 2 z z z2
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x 3. z y , 求 dz
x u z x y x u z y y
z z 1
z
1 zx , y y y x xz x , 2 y2 y y
求 f x (0,1)
y x2 y 2
f y (0,2)
fx 1
x x2 y 2
f y 1
f x (0,1) 1,
f y (0,2) 0
例2.
u z xy 求偏导数 u u u xy xy z (ln z) y z (ln z) x xyz xy1 x z y xy 2 2 , x y 0 2 2 例3. f ( x, y) x y 求 f x (0,0) f y (0,0) 2 2 0 , x y 0 f (0 x,0) f (0,0) 分段点处偏导 0 f x (0,0) lim x 0 x 数要用定义求 f (0,0 y) f (0,0) f y (0,0) lim 0 y 0 y
2 z y 2 x2 2z 2 2 2 yx ( x y ) xy
例6. z x3 y 2 3xy3 xy 1
2 z 2 z 2 z 2 z 3 z 求 2, , , , 3 2 x yx xy y x
z 3x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 2 z ( ) z xx f xx ; 2 x x x
z 2 z ( ) z xy f xy ; y x xy z z ( ) z yx f yx ; x y yx
2
混合偏导数
z 2 z ( ) z yy f yy . 2 y y y
y y 2 z 2 z 2. z x sin cos , 求 2 , x x y xy
z y 1 y cos sin , y x x x 2z 1 y 1 y sin 2 cos , 2 y x x x x z y y y y y sin cos 2 sin , x x x x x x 2z y y 1 y y y 2 sin 2 sin 3 cos . xy x x x x x x
例4. f ( x, y) | x | | y |
y 0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y) 0 f (0,0) 故在(0,0)点连续. x 0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.
注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan
z 1
z 1
z 1
u x x ln . z y y dz zx y y
z 1
dx
xz x 2 y y
z 1
x x dy ln dz . y y
z
第二节 偏导数与全微分
一.偏导数
1.偏导数的定义
定义 设z=f(x,y) 在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义,当y固定在 y0 时, 得一元函数 f ( x, y0 ) , z f f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x 0 x x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处对x的偏导数 类似的, z=f(x,y)在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y y
f y ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数--------偏导函数. z f z f f x , f y , zx , z y ,...... , , , ,...... x x y y (2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z)