题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。
随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。
下面我们就通过几个考题领略一下其风采。
例题4、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。
动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率2c e a ==，2a =,则得1c b ==。
从而椭圆的方程为2214x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+ 则211212814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++，同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2222222824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122k k k k t-∴=-+，直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t=又2t >，∴402t<< 椭圆的焦点为(3,0)43t∴=，即433t = 故当433t =时，MN 过椭圆的焦点。
方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M 的横坐标：211212814k x k -=+， 再利用直线A 1M 的方程通过同点的坐标变换，得点M 的纵坐标：1121414k y k =+； 其实由222(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消y 整理得222222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即222228214k x k -=+，2222414k y k -=+很快。
不过如果看到：将21121164214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2222222824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。
本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到12122k k k k t-=-+，由直线MN 的方程121121y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =，由43t=解出433t =，到此不要忘了考察433t =是否满足2t >。
另外：也可以直接设P(t ，y 0)，通过A 1，A 2的坐标写出直线PA 1，PA 2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M 、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。
再过点F ，求出t 值。
例题5、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。
解（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===22143x y ∴+= （II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++（注意：这一步是同类坐标变换） 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为1-，建立等式。
直线不过定点，也不知道斜率，设出m kx y l +=：，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。
练习：直线m kx y l +=：和抛物线22y px =相交于A 、B ，以AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线m kx y l +=：过定点，并求定点的坐标。
分析：以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=，再通过2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m ⋅=+⋅+=+++，将条件转化为221212(1)()0k x x mk x x m ++++=，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到12x x ，12x x +，解出k 、m 的等式，就可以了。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22y kx m y px =+⎧⎨=⎩得，2220ky py mp -+=，（这里消x 得到的） 则2480p mkp ∆=-> (1)由韦达定理，得：121222p mpy y y y k k+==，， 则2121212122()y m y m y y m y y m x x k k k---++==， 以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，即12120x x y y +=，可得21212122()0y y m y y m y y k-+++=，则22(1)220k mp pm m k +-+=， 即2220k mp m k +=，又0mk ≠，则2m kp =-，且使（1）成立， 此时2(2)l y kx m kx kp k x p =+=-=-：，直线恒过点(2,0)p 。
名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。
其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。
下面我们就通过例题领略一下思维过程。
例题6、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ的斜率。
解：(I)2BC AC =，且BC 过椭圆的中心OOC AC ∴= 0AC BC =2ACO π∴∠=又A (23,0)∴点C 的坐标为3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，3a ∴=222112x y b+= 将点C 3,3)代入方程，得24b =，∴椭圆E 的方程为221124x y += (II)直线PC 与直线QC 关于直线3x =∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：3(3)y k x -=，即 3(1)y kx k =+-，由22)3120y kx k x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩消y ，整理得：222(13)(1)91830k x k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，229183313Pkk x k--∴=+ 即2P x =同理可得：2Qx = ))P Q P Q yy kx k kx k -=-++＝()P Q k x x +-22P Q x x-= 13P QPQ P Q y y k x x -∴==-则直线PQ 的斜率为定值13。