考研数学三（微积分）-试卷36
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
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2. 2.00）
A.|r|＜1
B.|r|＞1
C.r=一1
D.r=1
3.设u n =(一1) n( )． 2.00）
A.
B.
C.
D.
4.设幂级数n (x一2) n在x=6处条件收敛，则幂级数 2.00）
A.2
B.4
D.无法确定
二、填空题(总题数：4，分数：8.00)
5.已知 2.00）
填空项1:__________________
2.00）
填空项1:__________________
2.00）
填空项1:__________________
8. 2.00）
填空项1:__________________
三、解答题(总题数：24，分数：48.00)
9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
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10. 2.00）
__________________________________________________________________________________________
11.计算 2.00）
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12.计算二重积分 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 13.设半径为R的球面S的球心在定球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大？（分数：2.00）
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14.设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫a b f(x)dx∫x b 2.00）
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15.设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，
（分数：2.00）
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16.设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0y=f(x)，y=0，x=a围成区
2.00）
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17.设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明： 2.00）
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18.设f(x)为连续函数，计算 2.00）
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19.交换积分次序并计算∫0a dx∫0x 2.00）
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20.设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0 2.00）
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21. 2.00）
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22. 2.00）
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23.设n收敛，举例说明级数n2不一定收敛；若n是正项收敛级数，证明
（分数：2.00）
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24.设0≤a n＜ 2.00）
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25.若正项级数n收敛，证明： 2.00）
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26.设a n n xdx． (1)求n +a n+2 )的值； (2)证明：对任意常数λ＞0，
数：2.00）
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27.设a n =∫01 x 2 (1一x) n dx，讨论级数 2.00）
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28.设{na n }收敛，且n一a n一1 )收敛，证明：级数 2.00）
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29.设a n＞0(n=1，2，…)且{a n } n一1∞单调减少，又级数1) n a n发散，判断
数：2.00）
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30.证明： (1)设a n＞0，且{na n }有界，则级数n2收敛； (2)若2 a n =k＞0，则级
数 2.00）
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31.设，2，…；a n＞0，b n＞0)，证明： (1)若级数n收敛，则级数n收
敛； (2)若级数n发散，则级数 2.00）
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32.设{u n }，{c n )为正项数列，证明： (1)若对一切正整数n满足c n u n一c n+1 u n+1≤0，且
发散，则n也发散；(2)若对一切正整数n满足 c n+1≥a(a＞0)，且则
（分数：2.00）
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