§21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布五年高考考点一相互独立事件1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.6482.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X的数学期望为E(X)=3×=.3.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解析(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.4.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)教师用书专用(5)5.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==.∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为0 2∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布1.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案2.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .答案3.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(C i)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.教师用书专用(4)4.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=××=,P(X=20)=××=,P(X=100)=××=,P(X=-200)=××=.10 20 100 -200(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.这表明,获得的分数X的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一相互独立事件1.(2018江苏徐州铜山中学期中)某同学在上学路上要经过A,B,C三个有红绿灯的路口,已知他在A,B,C三个路口遇到红灯的概率依次是,,,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.(1)求这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率;(2)记这名同学因遇到红灯停留的总时间为X秒,求X的概率分布与期望E(X).解析(1)设这名同学在第三个路口C首次遇到红灯为事件M,因为事件M等于事件“这名同学在第一个路口A和第二个路口B都没有遇到红灯,在第三个路口C遇到红灯”,所以P(M)=××=.答:这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率为.(2)X的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140(单位:秒).P(X=0)==;P(X=20)=××=;P(X=40)=××=;P(X=60)=××=;P(X=80)=××=;P(X=100)=××=;P(X=120)=××=;P(X=140)=××=.所以X的分布列为所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×+100×+120×+140×=秒.2.(苏教选2—3,二,2,3,变式)学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率分别为0.9,0.8,0.85,求一次考试中,(1)三科成绩均未获得第一名的概率;(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率.解析分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A、B、C两两相互独立且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示.P()=P()P()P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用BC+A C+AB表示.由于事件BC,A C和AB两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,可知所求的概率P(BC)+P(A C)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)·P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329.即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布3.(苏教选2—3,二,5,变式)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率为,从B中摸出一个红球的概率为p.(1)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.求:①恰好有3次摸到红球的概率;②仅在第一次,第三次,第五次摸到红球的概率;(2)若A,B两袋中球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值.解析(1)①所求概率P1=××=10××=.②所求概率P2=×=.(2)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由题意知,=,得p=.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(2017南京、盐城高三第一次模拟)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的分布列与数学期望E(X).解析(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率P=1-=.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得X~B,P(X=k)=·,k=0,1,2,3,4,5.则P(X=0)=·=,P(X=1)=··=,P(X=2)=··=,P(X=3)=··=,P(X=4)=··=,P(X=5)=·=,所以X的分布列为0 1 2 3 4 5所以X的数学期望E(X)=0×+×1+×2+×3+×4+×5=.或E(X)=5×=2.(2017江苏如皋高三上学期教学质量调研(三),23)已知两个城市之间由7条网线并联,这7条网线能够通过的信息量分别为1,2,2,2,3,3,3,现从中任选三条网线,设能够通过的信息总量为X,若能够通过的信息总量不小于8,则可以保持线路通畅.(1)求线路通畅的概率;(2)求线路通过信息量的概率分布及数学期望.解析(1)记“线路通畅”为事件A,则事件A包含X=8和X=9两个事件,且它们互斥,P(X=8)==,P(X=9)==,所以P(A)=P(X=8)+P(X=9)=+=.(2)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,则P(X=5)==,P(X=6)===,P(X=7)==,P(X=8)==,P(X=9)==.所以X的分布列为5 6 7 8 9故E(X)=5×+6×+7×+8×+9×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法独立重复试验及二项分布一名学生骑自行车去上学,从他家到学校的途中有6个路口,假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解析(1)依据已知条件,可知X~B.∴P(X=k)==.,k=0,1,2, (6)∴X的分布列为(2)由题意知,Y的所有可能取值为0,1,2,3,…,6.Y=k(k=0,1,2,…,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第(k+1)个路口遇上红灯,则P(Y=k)=·,Y=6表示路上没有遇上红灯,其概率P(Y=6)=.∴Y的分布列为0 1 2 3 4 5 6(3)由题意可知,“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”,因此有P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=.所以这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为.11。