江苏省盐城中学2008届高三第二学期期中测试数 学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求１．本试卷共5页，包含［填空题（第1题～第12题，共60分）、选择题（第13题～第16题，共16分）、解答题（第17～22题，共84分）及加试题（共40分，物理方向考生作答）］。

本次考试时间历史方向考生120分钟，满分160分、物理方向考生150分钟，满分200分。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。

3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。

在试卷或草稿纸上作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一．填空题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分。

）1．集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈∃且A y ∈∀，则A 与B 的关系是 ▲ 。

2．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= ▲ 。

3．已知复数z=x+yi,且2z -=yx的最大值 ▲ 。

4. 数列{}{}111,21,+c n n n n a a a a a +==+满足若数列恰为等比数列，则c 的值为 ▲ 。

5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y = f (x )的图像关于直线x =12对称，则f (1)+ f (2)+f (3)+ f (4) +f (5)= ▲ 。

6．设向量a ，b ，c 满足a +b +c =0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若│a │=1，则│a │+│b │+│c │的值是 ▲ 。

7．在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：)(9)(11+=。

8．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥a 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱a 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ▲ 。

9．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = ▲ 。

10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在 同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 0153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060,则塔高AB= ▲ 。

11．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为 ▲ 和 ▲ 。

12．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=_______，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是 ▲ 。

二．选择题（本大题共有４小题，每小题4分，满分16分；每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．） 13．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ∆的三边长，则△ABC 一定不是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 14．设f ,g 都是由A 到B 的映射，其中对应法则（从上到下）如下表：表一 映射f 的对应法则 表二 映射g 的对应法则则与)]1([g f 相同的是A ．)]1([f gB ．)]2([f gC ．)]3([g fD ．]1)1([-g f15．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p +2)%征税，有一公司的实际缴税比例为 (p +0.25)%，则该公司的年收入是 A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元 16那么方程22xx =有一个根位于下列区间的A ．( 1.6, 1.2)--B ．( 1.2,0.8)--C ．(0.8,0.6)--D ．(0.6,0.2)--三．解答题（本大题共有6题满分84分，解答下列各题必须写出必要的步骤．） 17．(本题满分12分)已知B A ,是ABC ∆的两个内角，a ＝2cos2B A +i ＋2sin BA -j （其中i ,j 是互相垂直的单位向量），若│a│＝26（1）试问B A tan tan ⋅是否为定值，若是定值，请求出,否则请说明理由; （2）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.18．(本题满分13分)已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，且,bcZ ∈，记函数)(x f满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，求事件A 发生的概率。

19．(本题满分14分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时当顾客在该商场内消费满一定金额根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2+30=110（元）．设购买商品得到的优惠率计算公式为：试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率？20．(本题满分14分)已知数列{}12n n a -的前n 项和96n S n =-（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(3log ),3nn a b n =-求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。

21．(本题满分15分)已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

（1）求,a b 的值；购买商品获得的优惠额商品的标价（2）证明：函数)(x f 在R 上是减函数；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；22．（本题满分16分）设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{n b }满足：1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ． （1）求证：1+=n a n ； （2）求n b 的表达式；（3）n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.加试题(满分40分)一、选择题：本大题共两小题，每小题5分，共10分.将答案填写在题后的括号内. 1.设n x x )3(2131+的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若272=+t h ，则其二项展开式中2x 项的系数为 A.21B. 1C. 2D. 3 2.若20π<<x ，则4x 与x 3sin 的大小关系是A.4sin 3x x >B.4sin 3x x <C.4sin 3x x ≥D.与x 的值有关二、填空题：本大题共两小题，每小题5分，共10分. 将答案填写在题后的横线上.3.某中学拟于下学期在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课，在计划任教高一的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，三门课都能任教的只有2人.现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门课的任课教师，且每门课安排3名教师任教.则不同的安排方案有 种.4.由曲线2613y x x =-+与直线3y x =+所围成的封闭区域的面积为 . 三、解答题：本大题共两小题，共20分.解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤.5. （本小题满分10分）已知2143M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，4131N -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求二阶方阵X ，使MX N =.6. （本小题满分10分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望；（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．江苏省盐城中学2008届高三第二学期期中测试数学参考答案及评分标准一、填空题 (每题5分共60分)1．A B ⊆ 或A B ⋂≠∅ 2．1 3．3 4．1 5.0 6．4 7．)12(9)4(11+=8．269. 221-+n 10．AB = 11．4,02712．0, 0, ()()()()()0f x g y g x f y g x y +-+= 二、选择题(每题4分共16分) D A D C 三.解答题17．解：（1）由题意得232sin 2cos222=-++B A B A ， ……………… 2分 从而得232)cos(11)cos(=--+++B A B A ，0)cos()cos(2=--+B A B A ，……4分 化简得:cos cos 3sin sin 0A B A B ∙-∙=. 显然cos cos 0A B ⋅≠ B A tan tan ⋅=31……6分（2）由B A tan tan ⋅=31可知A 、B 都是锐角， ………………………………………7分)tan (tan 23)tan(tan B A B A C +-=+-= ………………………………………8分由B A tan tan +≥332tan tan 2=⋅B A 所以)tan (tan 23tan B A C +-=≤3-，当且仅当33tan tan ==B A 时取等号， ………………………………………………9分 所 以C tan 的最大值为3-， ………………………………………10分 这时三角形为有一顶角为0120的等腰三角形 ………………………………………12分18．由 ⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 得:282b c b c +≤⎧⎨-+≤⎩ 且 04,04b c ≤≤≤≤,b c Z ∈ ………2分 当b=0时c=0,1,2 ………………………………………………4分 当b=1时c=0,1,2,3 ………………………………………………………6分 当b=2时c=0,1,2,3,4 ………………………………………8分 当b=3时c=0,1,2 ………………………………………………10分 当b=4时c=0以上共16种情形 ………………………………………………………12分故事件A 发生的概率为16()25P A =………………………………………………13分 19．（1）解：顾客得到优惠率是%3310001302.01000=+⨯ ……………………………7分 （2）解：设商品的标价为x 元，则500≤x ≤800，消费额为400≤0.8x ≤640, …9分由已知得⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.040031602.0x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+6408.0500311002.0x x x , 解得625≤x ≤750………………………………………13分 因此当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时，可得到不小于31的优惠率………14分20．（1）当n =1时，011123a S a =∴= ………………………………………2分当n ≥2时 112n n n n a S S --=-，得 232nn a -=-……………………………………5分即数列的通项公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-==-223132n n a n n ………………………………7分（2） 当n =1时，31log 321=-=b ……………………………………………9分 当2n ≥时)1()21log 3(22+=-=-n n n b n n故2n ≥时1111(1)1n b n n n n ==-++ ………………………………………11分 设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 n n b b b b T ++++= 321= 1111111.....323341n n +-+-++-=+ = 5161n -+ ………………………14分21．解：（1）因为()f x 是奇函数，且定义域为R ，所以0)0(=f ，∴111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ ………………………………………………3分 又)1()1(f f -=-，知11122 2.41a a a --=-⇒=++ …………………………………4分而当2,1a b ==时()f x 是奇函数 …………………………5分（2）证明：法一：由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，……………………6分 令21x x <，则21220x x <<，02212>-x x ………………………………………7分2112212222121)()(21x x x x x x x f x f +-=-=-＞０，即)()(21x f x f > ∴函数)(x f 在R 上为减函数 ………………………………………10分法二：由（Ⅰ）知11211()22221x x x f x +-==-+++，………………………………6分 2)12(2ln 2)(+⋅-='∴xx x f ， ………………………………7分 0)12(2ln 2,02ln ,02,2<+⋅-∴>>∴∈x x xR x ，即0)(<'∴x f ∴函数)(x f 在R 上为减函数．…10分 （3） ()f x 是奇函数，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数， ………12分∴2222t t k t ->-，即2320t t k -->对一切t R ∈横成立，∴14120.3k k ∆=+<⇒<- ………………………………………………15分22．（1）证明：=y a ·b =2)4(2-++x n x ，因为对称轴24+-=n x ,所以在[0，1]上为增函数，∴1)3()2(+=++-=n n a n ………………………………………5分（2）解：由1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb 得1109)109()109()2()1(32121++++=++-+---- n n n b b n b n 两式相减得n n n n S b b b b ==++++--1121)109( ，………………………………7分 当1=n 时，111==S b ………………………………………8分 当n ≥2时，21)109(109---=-=n n n n S S b ………………………………………9分 即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-21)109(10112n n b n n ………………………………………10分（3）解：由（1）与（2）得=⋅-=n n n b a c ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--21)109(10122n n n n ………………11分设存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立，当2,1=n 时，121201023c c c c >⇒>=- ………………………………12分 当n ≥2时，1008)109(21nc c n n n -⋅=--+，所以当8<n 时，n n c c >+1， ………………………………………13分 当8=n 时，n n c c =+1， ………………………………………14分 当8>n 时，n n c c <+1 ………………………………………15分所以存在正整数9=k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立．………16分 加试题1．B (5分) 2．A (5分) 3．16 (5分) 4． 92(5分) 5．解：设x y X z w ⎛⎫=⎪⎝⎭，按题意有21414331x y z w --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分根据矩阵乘法法则有2421433431x z y w x z y w -=⎧⎪-=-⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ ……6分解之得92151x y z w ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪=-⎪⎩ ……8分∴ 91251X ⎛⎫- ⎪=⎪-⎝⎭……10分 6．解:（1）基本事件总数为6636⨯=， ……1分若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =；当5c =时，5,6b =；当6c =时，5,6b =,目标事件个数为54332219,+++++= ……3分因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 ……4分 (2)由题意知，0,1,2ξ=，则17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==，……5分 故ξ的分布列为ξ0 1 2P1736 118 1736ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯= ……7分 (3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =，7()36P MN =， ……9分 ()7()()11P MN P N M P M ==. ……10分。