3.1.1平均变化率
课时目标
1.理解并掌握平均变化率的概念.
2.会求函数在指定区间上的平均变化率.
3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．
1．函数f(x)在区间上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．
2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy
Δx＝
f x2－f x1
x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)
图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．
一、填空题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)
①在上的平均变化率；
①在x0处的变化率；
①在x1处的变化率；
①以上都不对．
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝
________.
4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．
5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．
8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间内相应的平均速度是________．
二、解答题
9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间上的平均变化率．
10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
能力提升
11.
甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？
12．函数f(x)＝x 2＋2x 在上的平均变化率是函数g(x)＝2x －3在上的平均变化率的2倍，求a 的值．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs
与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt
. 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1
.
3．1.1 平均变化率 知识梳理 1.f x 2－f x 1x 2－x 1 x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f(x 2)－f(x 1) Δy Δx 2．斜率
作业设计
1．①
2．f(x 0＋Δx)－f(x 0)
3．4＋2Δx
解析 Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx)2，
①Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx
＝4＋2Δx. 4.s t ＋Δt －s
t Δt
解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以v ＝
Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t Δt
. 5．－1
解析 Δy Δx ＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1. 6．0.41
7．1
解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0
＝1. 8．4.1
解析 质点在区间内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s 2.1－s 20.1
＝4.1. 9．解 函数f(x)在上的平均变化率为：
f －1－f －3－1－－3
＝[－12－2×－1]－[－3
2－2×－3]2＝－6.
函数f(x)在上的平均变化率为：
f 4－f 24－2＝42－2×4－22－2×22
＝4.
10．解 ①Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝3Δx ＋3(Δx)2＋(Δx)3，
①割线PQ 的斜率
Δy Δx ＝Δx 3＋3Δx 2＋3Δx Δx ＝(Δx)2＋3Δx ＋3.
当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，
则k ＝Δy Δx
＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. ①当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.
11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
12．解 函数f(x)在上的平均变化率为
f a －f 0a －0
＝a 2＋2a a ＝a ＋2. 函数g(x)在上的平均变化率为
g 3－g 23－2＝2×3－3－2×2－31
＝2. ①a ＋2＝2×2，①a ＝2.。