计算题专题突破
计算题题型练3－4
1．一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形如图中的实线和虚线所示．
(1)设周期大于(t2－t1)，求波速；
(2)设周期小于(t2－t1)，并且波速为6 000 m/s，求波的传播方向．
解析：当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长；当波传播时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于一个波长，这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离．
(1)因Δt＝t2－t1<T，所以波传播的距离可以直接由题图读出．
若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝
2 m
0.005 s＝400 m/s.
若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝
6 m
0.005 s＝1 200 m/s.
(2)因Δt＝t2－t1>T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为
Δx＝vΔt＝6 000×0.005 m＝30 m.
而Δx
λ＝
30 m
8 m＝3
3
4，即Δx＝3λ＋
3
4λ.
因此可得波的传播方向沿x轴负方向．
答案：(1)波向右传播时v＝400 m/s；波向左传播时v＝1 200 m/s(2)x轴负方向
2. (厦门一中高三检测)如图所示，上下表面平行的玻璃砖折射率为n＝2，下表面镶有银反射面，一束单色光与界面的夹角θ＝45°射到玻璃表面上，结果在玻璃砖右边竖直光屏上出现相距h＝2.0 cm的光点A和B(图中未画出)．
(1)请在图中画出光路示意图(请使用刻度尺)；
(2)求玻璃砖的厚度d.
解析：(1)画出光路图如图所示．
(2)设第一次折射时折射角为θ1，
则有n＝sin(90°－θ)
sin θ1＝
sin 45°
sin θ1，
代入解得θ1＝30°
设第二次折射时折射角为θ2，
则有sin θ1
sin θ2＝
1
n，
解得θ2＝45°
可知AC与BE平行，由几何知识得：h＝2d tan θ1，
则d＝
h
2tan θ1＝ 3 cm.
答案：(1)图见解析(2) 3 cm
3.半径为R、折射率为n＝2的半球形玻璃砖，截面如图所示，O为圆心，相同频率的单色光束a、b相互平行，从不同位置射入玻璃砖，光线a在O点恰好发生全反射．求：
(1)a光发生全反射的临界角C；
(2)光束a、b在玻璃砖底产生的两个光斑间的距离OB.
解析：(1)a光在O点恰好发生全反射，有n＝
1
sin C，其中n＝2，解得C＝
45°.
(2)由(1)中的结论和几何关系可知，b光射入玻璃砖时的入射角i＝45°，设折射角为r
由折射定律有n＝sin i
sin r，解得r＝30°
根据几何关系有OB＝R tan r，解得OB＝
3
3R.
答案：(1)45°(2)
3 3R
4．在一列简谐横波传播的路径上有A、B两个质点，它们振动的图象分别如图甲、图乙所示．已知这两质点平衡位置间的距离为1 m.
(1)若B质点比A质点振动滞后1.1 s，则这列波的波速为多大？
(2)若两质点平衡位置间的距离小于一个波长，求这列波的波长和波速大小．
解析：(1)若B质点比A质点振动滞后1.1 s
则波从A传播到B所用的时间为t＝1.1 s
则波传播的速度v＝x
t＝
10
11m/s.
(2)当这列波由A质点向B质点方向传播时，由于两质点平衡位置间的距离
小于一个波长，因此有1
4λ＝1 m
得波长λ＝4 m
由题图可知，该列波的周期T＝0.4 s
因此波速v＝λ
T＝10 m/s
当这列波由B质点向A质点方向传播时3
4λ＝1 m
得波长λ＝4
3m
因此波速v＝λ
T＝
10
3m/s.
答案：(1)10
11m/s(2)见解析
5.(全国卷Ⅰ)如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m．距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，
该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin 53°＝0.8)．已知水的折射率为4 3.
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离．解析：(1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ.
由几何关系有x1
h1＝tan 53°①
x2
h2＝tan θ②
由折射定律有
sin 53°＝n sin θ③
设桅杆到P点的水平距离为x，则x＝x1＋x2④联立①②③④式并代入题给数据得x＝7 m．⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，由折射定律有
sin i′＝n sin 45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则
x1′＋x2′＝x′＋x⑦
x1′
h1＝tan i′⑧
x2′
h2＝tan 45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得
x′＝(62－3)m≈5.5 m.
答案：(1)7 m(2)5.5 m
6. (成都摸底)某种透明材料制成的空心球体外径是内径的2倍，其过球心的某截面(纸面内)如图所示．一束单色光(纸面内)从外球面上A点入射，入射角为45°时，光束经折射后恰好与内球面相切．
(1)求该透明材料的折射率；
(2)欲使光束从A点入射后，恰好在内球面上发生全反射，则应将入射角变为多少度？
解析：(1)如图所示，设光束经折射后到达内球面上B点．
由题意知，入射角i ＝45°，折射角r ＝∠BAO 由几何关系有sin r ＝BO
AO ＝0.5 由折射定律有n ＝sin i
sin r 代入数据解得n ＝ 2.
(2)如图所示，设在A 点的入射角为i ′时，光束经折射后到达内球面上C 点，并在C 点恰发生全反射，则光束在内球面上的入射角∠ACD 恰等于临界角C
由sin C ＝1
n
代入数据解得∠ACD ＝C ＝45°
由正弦定理有sin ∠ACO
AO＝
sin ∠CAO
CO
AO＝2R，CO＝R
解得sin ∠CAO＝sin ∠ACO
2＝
2
4
由折射定律有n＝
sin i′sin ∠CAO
解得sin i′＝0.5，即此时的入射角i′＝30°.
答案：(1)2(2)30°
7．(湖北黄石四校高三联考)如图甲所示，在某介质中波源A、B相距d＝20 m，t＝0时两者开始上、下振动，A只振动了半个周期，B连续振动，所形成的波的传播速度都为v＝1.0 m/s，开始阶段两波源的振动图象如图乙所示．
(1)求距A点1 m处的P质点，在t＝0到t＝22 s内所经过的路程；
(2)求在t＝0到t＝16 s内从A发出的半个波前进过程中所遇到的波峰个数．
解析：(1)A波通过P点时质点振动经过的路程为
s1＝2×4 cm＝8 cm
B波传播至P质点需t1＝19 s
则B波在P质点还要振动t2＝3 s＝1.5T2
故B波在P质点振动的路程为s2＝6×20 cm＝120 cm
总路程s＝s1＋s2＝128 cm.
(2)16 s内两列波相对运动的长度为
Δl＝l A＋l B－d＝2v t－d＝12 m B波波长为λB＝v T B＝2 m
n＝Δl
λB＝6
即A波经过了6个波峰．答案：(1)128 cm(2)6个。