习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用⒈ 求下列函数的导数：⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x =+113； ⑷ y xx=ln ； ⑸ y x =sin 3；⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()；⑻ y x =-arcsin (e )2；⑼⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1222(sin )；⑾ y xx x =+-1122ln ； ⑿ y xx=+12csc ； ⒀ y x x =-++2213312334； ⒁ y x =-e sin 2； ⒂ y x a x xa x=-+-2222.解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。

（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。

（3）23323233)1(23)'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。

（4）212'21ln 2ln 1ln ln 21'⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x xx x x x x y 。

（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。

（6）xx x x y 2sin )'(sin '-=-=。

（7）1'2y =。

（8）22'x x y --==1222--x ex 。

（9）4424(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422(1)x x x +-。

（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=32)sin 2()cos 4(2x x x x ++-。

（11）'y ==2322222)1()21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x --+--。

（12）2''1csc x x y x =+=22223221csc csc cot (1csc )x x x x x ++=+。

（13）'y =+4523234112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+4522334827(21)(31)34x x x x --=---+。

（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2sin sin 2x x e -=-⋅。

（15）22'y =22221(1)()(2)x a x x -+⋅-⋅-= 42242322223()x a x a a a x -++=-。

⒉ 求下列函数的导数：⑴ y x =ln sin ； ⑵ )cot ln(csc x x y -=； ⑶ ⎪⎭⎫⎝⎛+-=a x a x a xy arcsin 21222；⑷ y x x a =++ln()22；⑸ y x x a a x x a =--+-1222222(ln(). 解 （1）1'(sin )'cot sin y x x x==。

（2）(csc cot )''csc cot x x y x x-==-2cot csc (csc )csc csc cot x x x x x x ---=-。

（3）21'(arcsin )'2x y x x a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2111(22x a ⎛⎫⎪=+ ⎝20,0.a a >=⎨<⎪⎩。

（4）'y ===（5）21'[2y x x a =-212x a ⎡⎛⎫=-⎢⎣⎦=22a x -。

⒊ 设f x ()可导，求下列函数的导数：⑴ f x ()23；⑵ ⎪⎭⎫⎝⎛x f ln 1； ⑶ f x ()； ⑷ )(tan arc x f ； ⑸ f f e x (())2；⑹ sin ((sin ))f x ；⑺ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(1x f f ；⑻ 1f f x (()).解 （1）f f ==)('323231x f x -。

（2）111'ln ln ln f f x x x ''⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=)ln 1('ln 12x f x x -。

（3）()]'f x ==)(2)('x f x f 。

（4）21[arctan ()]'[()]'1[()]f x f x f x =+=)(1)('2x f x f +。

（5）222[(())]''(())[()]'x x x f f e f f e f e =222'(())'()()'x x x f f e f e e ==))((')('2222x x x e f f e f xe 。

（6）[sin ((sin ))]'cos((sin ))((sin ))'f x f x f x =cos((sin ))'(sin )(sin )'f x f x x ==x x f x f cos )(sin '))(sin cos(。

（7）111'()()()f f f x f x f x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)(1')()('2x f f x f x f 。

（8）21'(())[()]'(())(())f f x f x f f x f f x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()2))(()('))(('x f f x f x f f -。

⒋ 用对数求导法求下列函数的导数：⑴ y x x=；⑵ ()xx x y 13sin +=；⑶ y x x =cos ； ⑷ y x x =+ln ()21；⑸ y xx x =-+1123； ⑹ y x x i i n=-=∏()1；⑺ y x x =sin .解 由于'(ln )'y y y=，所以'(ln )'y y y =。

（1）ln ln y x x =,'(ln )'['ln (ln )'](1ln )x y y y y x x x x x x ==+=+。

（2）()31ln ln sin y x x x=+，()()3311'(ln )'ln sin ln sin 'y y y y x x x x x x ⎡⎤'⎛⎫⎛⎫⎢⎥==+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++233213)sin ln()sin (cos 3)sin(x x x x x x x x x x x。

（3）ln ln cos y x x =，'(ln cos )'['ln cos (ln cos )']y y x x y x x x x ==+=()x x x x x cos tan cos ln -。

（4）ln ln ln(21)y x x =+，'['ln ln(21)(ln ln(21))']y y x x x x =+++=)12(ln )12ln()12(2)12ln(ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++x x x xx x 。

（5）2311ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+，2311'[(ln )'(ln(1))'(ln(1))']22y y x x x =+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-)1(23111132232x x xx x x x x 。

（6）1ln ln()ni i y x x ==-∑，1'[ln'()]n i i y y x x ==-∑=∏∑==-⋅-ni ni ii x x x x 111)(。

（7）令ln u u x =，则')']u u x x u u ===，于是， '(sin )'()'y u u ==xxxx xxcos 2ln 2+。

⒌ 对下列隐函数求dydx： ⑴ y x y tan arc +=； ⑵ y x y +=e 1； ⑶ x y y x -=-cos sin ； ⑷ xy y -+=ln()10； ⑸ e xy x y 220+-=；⑹ 0)tan(=-+xy y x ； ⑺ 20y x x y sin ln +=；⑻ x y axy 3330+-=.解 （1）在等式两边对x 求导，得到2'''(arctan )'11y y x y y=+=++， 解得'y =221yy +。

（2）在等式两边对x 求导，得到''''(1)0y y y y y x e xe y y xe e ++=++=，解得'y =yyxee +-1。

（3）等式两边平方，再对x 求导，得到1sin ()'2(sin )(cos ()'1)y y y x y y +⋅=-⋅-，解得'y =yy x y x y sin cos )(sin 2)(sin 21---+。

（4）在等式两边对x 求导，得到1''[ln(1)]'''01x y xy y y xy y y+-+=+-=+， 解得'y =xyx yy --+12。

（5）在等式两边对x 求导，得到22222()'()'(2')(2')0xyx y e x y xy e x y y xyy +++-=+-+=，解得2222'2x yx yxe y y exy++-=--。

（6）在等式两边对x 求导，得到22sec ()()'()'sec ()(1')(')0x y x y xy x y y y xy ++-=++-+=，解得22sec ()'sec ()x y y y x x y +-=-+。

（7）在等式两边对x 求导，得到'2'sin 2(sin )'(ln )'2'sin 2cos ln 0y y x y x x y y x y x y x y++=+++⋅=， 解得22cos ln '2sin y x y y y x y x+=-+。