一、蝴蝶定理的发展历程简介：。

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。

此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。

然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。

笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。

证法1 （证∠POM＝∠QOM）作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。

∴∠POM＝∠PGM…①。

同理，∠QOM＝∠QHM…②∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH∠F＝∠D∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③由①②③得：∠POM＝∠QOM∴PM＝QM证法2 （作△PMD′≌△QM D）作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。

∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D∴在△PD’M与△QDM中∠PD’M＝∠DMD’＝MD∠PMD’＝∠QMD∴△PMD’≌△QMD∴PM＝QM证法3 （利用梅氏定理）延长CF、ED相交于G点。

∵直线CD截三角形GPQ三边于C、M、D三点证法4 （面积法）证法5 （面积比的积为1）如图，设四个三角形的面积分别为a、b、c、d证法6（利用正弦定理）证法7 （引用例题结论）如图7(1)圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点M，则（右边比中的前项为有公共顶点的弦的端点与对角线交点的线段）证明：作∠AME＝∠ABC，则B、E、M、C四点共圆。

△ABCCDA∽△AME，连CE，则∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴△CDA∽△CME，∴两式相乘得：下面我们引用此例题的结论，以AP/PB，BQ/AQ，AM/BM建立比例连CA、AF、FB、BC得圆内接四边形AFBC，则证法8 （解析法）如图，建立平面直角坐标系设⊙O的方程为x2＋(y－a)2＝R2设CF：y＝mx，ED：y＝nx于是⊙O和直线CF、ED组成了二次曲线系其方程为：μ[x2＋(y－a)2－R2]＋λ[(y－mx)(y－nx)]＝0令y＝0,知P、Q两点的横坐标x1、x2满足方程：(μ＋λmn)x2＋μ(a2－R2)＝0∵x的一次项系数为0,∴x1＋x2＝0∴MP＝MQ证法9（三角函数与相似综合）证法10 (解析法)如图10建立平面直角坐标系.设CD：y＝mx，EF：y＝nx，圆：(x＋a)2＋y2＝R2蝴蝶定理: 如图，点P为圆O的弦AB的中点，过点P任意作两条弦CD，EF，又连接CF，ED分别交AB于点M,N.则：PM=PN.证明：如图，作点C的对称点K，连结EK,OP则：OP⊥MN，CK∥AB，又∠CPO=∠KPO, ∴∠NPK=90°-∠KPO=90°-∠CPO =∠MPC=∠PCK=∠DCK=∠DEK=∠NEK，∴点PEKN四点共圆，∴∠PKN=∠PEN=∠FED=∠DCF=∠PCM，又PK=PC, ∠NPK=∠MPC,∴△NPK≌△MPC(ASA)，∴PM=PN.证毕！1990全国冬令营数学选拔赛试题1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。

1985年，蝴蝶定理传入中国。

接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。

同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。

接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。

1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。

关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。

至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的，当推用射影几何的方法，在下文中将会给予介绍。

蝴蝶定理的60多种证明方法,而且,还给出了蝴蝶 定理的各种变形与推广.令人欣喜的是这只美丽的 蝴蝶终于在2003年飞到我国的高考(北京)试卷里:18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴21A A 与x 轴平行，短轴21B B 在y 轴上，中心),0(r M （0>>r b（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线x k y 1=与椭圆交于),(11y x C ，),(22y x D （02>y ），直线x k y 2=与椭圆次于),(33y x G ，),(44y x H （04>y ）．求证：4343121211x x x x k x x x x k +=+； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在H G D C ,,,，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OQ OP =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （Ⅰ）解：椭圆方程为1)(2222=-+br y a x 焦点坐标为),(221r b a F --，),(222r b a F -离心率ab a e 22-=（Ⅱ）证明：证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程1)(2222=-+b r y a x ，得 2221222)(b a r x k a x b =-+0)(2)(22222122122=-+-+b a r a rx a k x k a b根据韦达定理，得212221212k a b ra k x x +=+，2122222221k ab b a r a x x +-=，所以 rk b r x x x x 12221212-=+ ① 将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程1)(2222=-+b r y a x ，同理可得 rk b r x x x x 22243432-=+ ② 由 ①、②得 rb r x x x x k 22221211-=+ = 43432x x x x k + 所以结论成立（Ⅲ）证明：设点P )0,(p ，点Q )0,(q由C 、P 、H 共线，得 421141x k x k p x p x =-- 解得 42114121)(x k x k x x k k p --= 由D 、Q 、G 共线，同理可得322132x k x k p x p x =-- 32213221)(x k x k x x k k q --= 由21211x x x x k + = 43432x x x x k +变形得 42114121)(x k x k x x k k ---=32213221)(x k x k x x k k -- 所以 q p =即 OQ OP =本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。

第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。

待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。

这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。

解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。

证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。

）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。

参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。

如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。

设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’将①’两边同乘以k1·k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②’完全一样。

这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。

思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

4．赏析：上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？关于圆，有一个有趣的定理：蝴蝶定理设AB是圆O的弦，M是AB的中点。

过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB 于H、G。

则MH=MG。

这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。

盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？像，而且像极了。

试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。

如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。