( s + 1)( 2s + 5s + 6) s + 1 s + 2 s + 3
y(t ) = 3e t + 7e 2 t 7e 3 t t > 0
10
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(4)
（2）将微分方程两端作LT [ s 2Y ( s) sy(0 ) y (0 )] + 5[ sY ( s) = 2sX ( s ) + 8 X ( s)
信号与系统 (Signal & system)
教师：徐昌彪 xucb@
2004-12-7
电路基础教学部
1
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(1)
FL (s) 的收敛域横坐标 0 > 0 时
没有频谱密度函数，即傅里叶变换不存在。
例：FL
(
s)
=(
s
2s + + 1)(
1 s
Ai ( s) y( i ) (0 )
i =0
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
Y ( s) = Yzs ( s) + Yzi ( s)
y(t ) = yzs (t ) + yzi (t )
系统函数 H ( s) =bm s m + bm 1 s m 1 + L+ b1 s + b0Yzs ( s) = H ( s) X ( s
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
9
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(3)
例：y (t ) + 5 y(t ) + 6 y(t ) = 2 x(t ) + 8 x(t ) x(t ) = e t U (t ) y(0 ) = 3 y (0 ) = 2
（1）求 y(t ) （2）求yzs (t ) 和 yzi (t ) ，并由此求 y(t ) 解：（1）将微分方程两端作LT
[ s 2Y ( s) sy(0 ) y (0 )] + 5[ sY ( s) y(0 )] + 6Y ( s) = 2sX ( s ) + 8 X ( s) Y ( s) = 3s 2 + 22s + 25 = 3 + 7 + 7
n
FF ( ) = FL ( s) s = j + K i ( i )
i =1
3
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(3)
虚轴上有重极点，设 FL (s) 有 q 重极点 j 0
FL ( s) = Fa ( s) + K 1q +
K 1( q 1) + L +
K 12 +
K 11
( s j 0 )q ( s j 0 )q 1 ( s j 0 )2 s j 0
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
FF (
)
=
FL (
s)
s = j+
q i =1
K (i
1i j 1)!
i
1 ( i
1) (
0)
4
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(4)
例：FL
(
s)
= s
2
s +
2 0
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
s
1/2 1/2
FL ( s) = 2 s +
2=
0
s + j
+
0
s
j 0
FF ( ) = FL ( s) s = j+
(
+
1 0) +
(
1 0)
2
2
=
j 2 + [( + 0 ) + ( 0 )
2+ 0 2
5
电路基础教学部
设 Ak ( s) an s n 1 k + an 1 s n 1 ( k 1) + L + ak s + ak +1 (k = 0,1,2,L, n 1)
8
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(2)
n1
Y ( s) =bm s m + bm 1 s m 1 + L+ b1 s + bX0 ( s) +
j 2 + 1 + 3)( 2 + j4
+ 5)
2
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(2)
FL (s)的收敛域横坐标 0 = 0 时
虚轴上为单极点
n
FL ( s) = Fa ( s) +
Ki
i =1 s j k
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
6
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6 拉普拉斯变换分析法(复频域分析法)
4.6.1 微分方程的复频域求解 4.6.2 电路的复频域求解
7
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(1)
an y ( n ) (t ) + an 1 y ( n 1) (t ) + L + a1 y (t ) + a0 y(t ) = bm x ( m ) (t ) + bm 1 x ( m 1) (t ) + L + b1 x (t ) + b0 x(t ) 对上式两端作LT，假定x(t )为因果信号 ai y ( i ) (t ) ai [ s iY ( s) s i 1 y(0 ) L sy ( i 2 ) (0 ) y ( i 1) (0 )] (i = 0,1,2,L, n) b j x ( j ) (t ) b j s j X ( s) ( j = 0,1,2,L, m )
y(0 )] + 6Y ( s)
Y
(
s)
=
s
2s + 2+ 5s
8 +
6
X
(
s)
+(
s
+
5) y(0 ) s 2 + 5s
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(5)
例：FL
(
s)
=
s
2(
1 s+
1)
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
1
11
FL
(
s)
=
s
2
(
s
+
1)=
Fa
(
s)
+ s
2
+
s
FF ( ) = FL ( s) s = j + j ( ) ( )
=
1
+ j( ) ( )
2 ( j + 1)
2) FF ( ) = ?
解： 0 = 2 > 0 故 FF ( ) 不存在
FL ( s) 的收敛域横坐标 0 < 0 时
FF ( ) = FL ( s) s = j
例：
L
(
s)
=
(
s
+
2s + 1 3)( s2 +
4s
Байду номын сангаас
+
5)
FF
(
)=?
解： 0 =
2<0故
FF (
)
=
FL
(
s) s=
j
=
( j