2015年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．32．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜03．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=﹣2i，则|z1|=（）A．1B．C．2D．44．（5分）已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为（）①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．35．（5分）已知向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，||=2，点A的坐标为（3，﹣4）．则点B坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（5，﹣8）D．（﹣8，5）6．（5分）函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=7．（5分）阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A．7B．8C．9D．108．（5分）设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．4πD．π10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1B．0C．2D．﹣211．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．12．（5分）若函数y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣l]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为．14．（5分）设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计得ξ～N（520，14400），从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有辆．（附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξμ+3σ）=0.9974）15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若=+，则||的取值范围是．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（I）证明：{a n+2}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log2（a n+2），T n为数列{}的前n项和，若T n＜a 对正整数a都成立，求a的取值范围．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人．（I）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计（Ⅱ）由列表中的数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC⊥平面ACC1A1．（1）求证：M是棱BB1的中点；（2）求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，斜率为﹣l的直线l 交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为﹣．（I）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；（Ⅱ）求+的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当a=﹣时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD 是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）．（I）用x，y，θ0表示m，n；（Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证：（Ⅰ）++≤（Ⅱ）++≥．2015年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．3【解答】解：集合M={x|x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}={x|﹣1＜x＜3，x∈Z}={0，1，2}，所以集合M的真子集个数为：23﹣1=7个．故选：B．2．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0【解答】解：根据否命题的定义，x＞1的否定是：x≤1；x＞0的否定是：x≤0，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是：“若x≤1，则x≤0”．故选：A．3．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=﹣2i，则|z1|=（）A．1B．C．2D．4【解答】解：根据复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，可得|z1|=|z2|，再根据z1z2=﹣2i，可得|z1|•|z2|=|z1•z2|=|2i|=2，∴|z1|=，故选：B．4．（5分）已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为（）①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，在b上一点作a'∥a，则m⊥a'，b所在的平面，同理，n垂直a'b所在的平面所以m∥n；故①正确；对于②，若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线或者相交；故②错误；对于③，若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线或者相交；故③错误；所以正确的命题只有①；故选：B．5．（5分）已知向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，||=2，点A的坐标为（3，﹣4）．则点B坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（5，﹣8）D．（﹣8，5）【解答】解：由题意可得||==，∴•=||•||•cosπ=•2•（﹣1）=﹣10．设点B的坐标为（a，b），则=（a﹣3，b+4），由•=1×（a﹣3）+（﹣2）（b+4）=﹣10，求得a﹣2b=1 ①．再根据向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，可得（a﹣3，b+4）=k（1，﹣2），k＜0，即b=2﹣2a ②．结合①②求得a=1，b=0，故点B的坐标为（1，0），故选：A．6．（5分）函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=【解答】解：f（x）=sinx+sin（﹣x）=sinx+cosx+sinx=sin（x+），∴x=是函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴，故选：D．7．（5分）阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1满足条件n≤m，S=，n=2满足条件n≤m，S=+，n=3…满足条件n≤m，S=++…++=（1﹣）+（）+…+（）+（）=1﹣=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框内的条件应该为：n≤9．故选：C．8．（5分）设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由椭圆+y2=1，得a=2，b=1，c=，，则，即=12，由|+|=2，得，∴，即，∴∠F1PF2=．故选：D．9．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．4πD．π【解答】解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（2﹣r）2+（）2，∴r=，∴三棱锥外接球的表面积为4π×=9π，故选：B．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1B．0C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[﹣（x+3）+1]=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）=﹣f[（x+1）+1]=﹣f[﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f（0）=0，∵当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，∴f（3）=0，f（4）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，故选：B．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为d==，∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，∴2=a，∴2（c4﹣a2b2）=3a2c2，∴2c4﹣2a2（c2﹣a2）=3a2c2，∴2e4﹣5e2+2=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．12．（5分）若函数y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣l]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：解：∵y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，∴y′=cos2x﹣asinx＞0，∴1﹣2sinx2﹣asinx＞0，即﹣2x2﹣ax+1＞0，x∈（0，1]，∴a＜﹣2x+，令g（x）=﹣2x+，则g′（x）=﹣2﹣＜0，∴g（x）在（0，1]递减，∴a＜g（1）=﹣1，故答案为：a＜﹣1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为16．【解答】解：∵（x﹣2）4=x4﹣8x3+24x2﹣32x+16∴（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为24﹣8=16．故答案为：16．14．（5分）设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计得ξ～N（520，14400），从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有6826辆．（附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξμ+3σ）=0.9974）【解答】解：ξ～N（520，14400），则μ=520，σ=120，所以P（400，640）=P（520﹣120，520+120）=0.6826，所以每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有l0000×0.6826=6826．故答案为：6826．15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若=+，则||的取值范围是[2﹣2，2+2] ．【解答】解：如图所示，设MN中点为G（x，y），由PG=GN，得G点轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=6，又PQ=2PG，所以﹣≤PG≤+，所以2﹣2≤PQ≤2+2故答案为：[2﹣2，2+2]．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（I）证明：{a n+2}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log2（a n+2），T n为数列{}的前n项和，若T n＜a 对正整数a都成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题设S n=2a n﹣2n（n∈N*），S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n﹣1），n≥2，两式相减得a n=2a n﹣1+2，即a n+2=2（a n﹣1+2），又a1+2=4，所以{a n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，a n+2=4•2n﹣1，即a n=2n+1﹣2（n≥2）又a1=2，所以a n=2n+1﹣2（n∈N*）；（Ⅱ）解：因为b n=log2（a n+2）=log22n+1=n+1，即有==﹣，故T n=﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，依题意得：a≥．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人．（I）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计（Ⅱ）由列表中的数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：下面2×2列联表：青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常使用微信55560合计13545180…（4分）（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K2=≈13.33＞10.828所以有99%的把握认为经常使用微信与年龄有关．…（8分）（III）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为=由题意，X～B（3，），所以：E（X）=3×=．…（12分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC⊥平面ACC1A1．（1）求证：M是棱BB1的中点；（2）求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AC中点O，连OB．在平面ACC1A1上过O作AC垂线交A1C1于N．∵平面ACC1A1⊥平面ABC．∴ON⊥平面ABC，如图：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系由已知：A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），A1（2，0，5），B1（0，2，5），C1（﹣2，0，5），M（0，2，m），…（3分）设=（x，y，z）为平面A1MC法向量，，取x=5，z=﹣4，y=2m﹣5，即：=（5，2m﹣5，﹣4），又=（0，1，0）为平面ACC1A1法向量依题意：，解得m=∴M为棱BB1的中点…（8分）（2）由（1）知：=（5，2m﹣5，﹣4）为平面A1MC法向量又=（0，0，1）为平面ABC法向量∴cos＜＞==﹣，∴平面A1MC与平面ABC所成锐二面角余弦值为．…（12分）20．（12分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，斜率为﹣l的直线l 交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为﹣．（I）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；（Ⅱ）求+的最大值．【解答】解：（I）设直线l的方程为：y=﹣x+b，将它代入C：y2=4x得：x2﹣2（b+2）x+b2=0，令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=2（b+2），x1x2=b2，y1+y2=﹣（x1+x2）+2b=﹣4，…（3分）因为△PAB重心的纵坐标为﹣，所以y1+y2+y P=﹣2，所以，y P=2，x P=1．所以k1+k2=+===0所以：k1+k2=0．…（6分）（Ⅱ）+=+==，…（8分）由△=16（b+1）＞0得b＞﹣1，又l不过P点，则b≠3．令t=b+3，则t＞2且t≠6．则+===≤=当t=，即t=2，b=2﹣3时，+的最大值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当a=﹣时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：，依题意得：，解得：；（Ⅱ）证明：当时，，∴．∴对x∈（1，+∞）成立，即：f′（x）在（1，+∞）上为增函数，又f′（1）=0，故f′（x）＞0对x∈（1，+∞）成立，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）解：由f（x）≥g（x），得：（x≥1），设（x≥1），∴h′（x）=（x+1）e x﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[e x﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]（x≥1），设k（x）=e x﹣1﹣a（x﹣1）﹣1（x≥1），∴k′（x）=e x﹣1﹣a．①当a≤1时：k′（x）≥0对x∈[1，+∞）成立，又k（1）=0，故k（x）≥0，即：h′（x）≥0．又h（1）=0，故h（x）≥0；②当a＞1时：由k′（x）=0，得x=1+lna＞1，当x∈（1，1+lna）时：k′（x）＜0，又k（1）=0，故：k（x）＜0，即：h′（x）＜0，又h（1）=0，故h（x）＜0这与已知不符．综上所述：实数a的取值范围为（﹣∞，1]．四、选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD 是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【解答】（Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，得△ACE∽△BCA，∴，∴CE•AB=AE•AC；…（5分）（Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACF=∠BCD，∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD∴△ACF∽△BCD，∴=，∴CF=DF．…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）．（I）用x，y，θ0表示m，n；（Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，和，即：，所以：，（Ⅱ）由题意知：，所以：，．整理得：．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证：（Ⅰ）++≤（Ⅱ）++≥．【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3，∴++≤．（Ⅱ）由柯西不等式得：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（++）≥（•+•+•）2=9∴++≥．。